微积分总复习题及答案.doc

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1、第五章一元函数积分学例1：求不定积分解：被积函数是一个复合函数，它是由和复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将变形为，故有例2：求不定积分解：为了消去根式，利用三解恒等式，可令，则，，因此，由第二换元积分法，所以积分化为由于，所以，，利用直角三角形直接写出，于是例3：求不定积分分析：如果被积函数中没有x或sinx，那么这个积分很容易计算出来，所以可以考虑用分部积分求此不定积分，如果令u=x，那么利用分部积分公式就可以消去x（因为）解令，则，.于是。熟悉分部积分公式以后，没有必要明确的引入符号，而可以像下面那

2、样先凑微分，然后直接用分部积分公式计算：例4：求微分方程的通解。解：原方程为可分离变量的方程，移项分离变量得，两端积分得：，得从而。因为仍然是常数，把它记做C，故原方程的通解为其中C为任意常数例5：求微分方程的通解解：这是一个一阶线性非齐次方程，通解公式为在本题中，由通解公式知=即原方程的通解为：例6：求定积分分析：设函数在区间上连续，是在上的一个原函数，则，这就是牛顿-莱布尼茨公式。解：根据牛顿-莱布尼茨公式，因为是的一个原函数，所以原式有例7：求定积分分析：在应用定积分换元时应注意两点：（1）换元必换限，上限对上

3、限，下限对下限，即如果用把原来的变量换成了新变量t，积分限也必须也必须换成新变量t的积分限，并且原来下限对应的参数做下限，上限对应的参数做上限。（1）求出换元后的原函数后，不必像计算不定积分那样将它还原成x的函数，只需将新变量的上、下限带入相减即可。解为了去掉被积函数中的根式，令，即，于是，并且当x=0时，t=0；当x=8时，t=2，因此由换元公式有==例8：计算定积分分析：定积分的分部积分其本质上与先用不定积分的分部积分法求原函数，再用牛顿-莱布尼茨计算定积分是一样的．因此，定积分的分部积分法的技巧和适应的函数类型

4、与不定积分的分部积分法完全一样．解　令，，则．故由分部积分公式得例９　求反常积分分析：　设在或或上连续，定义反常积分　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　若上述极限存在，则称相应的反常积分收敛，否则称其发散．解　因为　　　　　，所以　　　这里．极限是型未定式，由洛必达法则易知其极限为０例１０　计算由抛物线与，所围阴影图形的面积分析：设函数在区间上连续，并且，则由曲线与以及所围成的图形面积Ａ为解　联立两抛物线方程，得交点，并且由图形可知当时均有，则所求图形面积为第六章多元函数微积分1．基本要求（1）了解

5、多元函数的概念，了解二元函数的几何意义，知道求二元函数的定义域。（2）了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶偏导数和全微分。（3）了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法。2．本章重点难点分析（1）本章重点：二元函数的定义域、多元复合函数一阶偏导数和全微分以及二重积分的计算方法。（2）本章难点：一阶偏导数、全微分以及二重积分的计算。3．本章典型例题分析例1.求函数的一阶偏导数.解:把y看成常数,对x求导.例2.设求解：根据全微分公式，先求两个偏导数；。所以例3.计算二重积分，其中是由直线及

6、所围成的闭区域．解区域如图所示，可以将它看成一个-型区域，即．所以例4.计算二重积分，其中是有抛物线及所围成的有界闭区域．解：如图，区域可以看成是－型区域，它表示为，所以．一、选择题1、（）．（A）（B）（C）（D）2、若是的原函数，则（）.（A）（B）（C）（D）3、若，则（）.（A）（B）（C）（D）4、（）.（A）（B）（C）（D）5、（）。（A）2arctant（B）（C）（D）二、填空：1、已知的一个原函数为，则=．2、若存在且连续，则．3、若，则=.4、.5、.6、＝.7、＝.8、已知在上连续，且，且设，

7、则.9、.10、设，则.11、.12、的阶数是.13、的阶数是.四、求不定积分（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）(13)（14）(15)（16）(17)（18）(19)（20）（21）求由曲线，直线所围成的图形的面积.（22）求由曲线与直线，围成的平面图形面积.（23）,求，.（24），求，.（25）,求.（26）,求.（27），其中Ｄ是由直线及所围成的平面区域.（28）,其中D由直线与所围成.（29）其中D由抛物线和直线所围成.（30）解微分方程：.（31）解微分方程：.

8、（32）某厂生产某种商品千件的边际成本为（万元/千件），其固定成本是9800（万元）.求（1）产量为多少时能使平均成本最低？（2）最低平均成本是多少？（33）已知某产品的边际成本为（万元/百台），边际收入为（万元/百台）。如果该产品的固定成本为10万元，求：（1）产量为多少时总利润最大？（2）从最大利润产量的基础上再增产200台，总利润会发生什