多元函数的极值问题.ppt

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1、第四节多元函数的极值问题二、多元函数的极值三、多元函数的最值四、条件极值一、二元泰勒公式一、二元函数的泰勒公式一元函数的泰勒公式:推广多元函数泰勒公式记号(设下面涉及的偏导数连续):一般地,表示表示定理1.到n+1阶连续偏导数,为此邻域内任一点,则有其中①②①称为f在点(x0,y0)的n阶泰勒公式,②称为其拉格朗日型余项.证:令则利用多元复合函数求导法则可得:一般地,由的麦克劳林公式,得将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.说明:(1)余项估计式.因f的各n+1阶偏导数连续,在某闭邻域其绝对值必有上界M,则有(2)当

2、n=0时,得二元函数的拉格朗日中值公式:(3)若函数在区域D上的两个一阶偏导数恒为零,由中值公式可知在该区域上例1.求函数解:的三阶泰勒公式.因此,其中播放二、多元函数的极值定义:若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).极大值和极小值统称为极值,的某邻域内有使函数取得极值的点1、二元函数极值的定义称为极值点.类比单元函数的极值问题:有水平切线处导数为零(驻点)可能极值点没有水平切线处可能极值点有水平切平面处没有水平切平面处两个偏导数为零(驻点)可能极值点可能极值点(1)(2)例1例２例３(3)有水平切平面在(0,0)

3、处偏导不存在,没有有水平切平面.有水平切平面说明:使偏导数都为0的点称为驻点.定理1(必要条件)函数偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值,取得极值取得极值但驻点不一定是极值点.且在该点取得极值,则有存在故例如,有驻点(0,0),但在该点不取极值.驻点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？时,具有极值且定理2(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A<0(C<0)时取极大值;A>0(C>0)时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数证:由二元

4、函数的泰勒公式,并注意则有所以其中,,是当h→0,k→0时的无穷小量,于是(1)当AC－B2＞0时,必有A≠0,且A与C同号,可见,从而△z＞0,因此从而△z＜0,(2)当AC－B2＜0时,若A,C不全为零,无妨设A≠0,则时,有异号;同号.可见△z在(x0,y0)邻近有正有负,++－若A＝C＝0,则必有B≠0,不妨设B＞0,此时可见△z在(x0,y0)邻近有正有负,(3)当AC－B2＝0时,若A≠0,则若A＝0,则B＝0,为零或非零此时因此不能断定(x0,y0)是否为极值点.例1.求函数解:第一步求驻点.得驻点

5、:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;例2.讨论函数及是否取得极值.解:显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此z(0,0)不是极值.因此为极小值.正负0在点(0,0)并且在(0,0)都有可能为三、多元函数的最值函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到最值最值可疑点驻点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,为极小值

6、为最小值(大)(大)依据例3.解:设水箱长,宽分别为x,y,z(m),有xyz=2，于是水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.则z=解解由无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种喜爱物品：DVD影碟和音乐CD，设他购买张影碟，张音乐CD达到最佳效果，效果函数为．设每张音乐C

7、D8元，每张影碟10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果．问题的实质：求在条件下的极值点．四、条件极值极值问题无条件极值:条件极值:条件极值的求法:方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题.对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化方法2拉格朗日乘数法.如方法1所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设记例如,故故有{引入辅助函数辅助函数F称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格极值点必满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.如图:在区域D

8、可微,有穿过D的曲线问:函数上的何点取得极大值?构造函数显然在曲线上F与f取值相同,所以Ｆ在　上的极值就是f在　上的极值．Ｆ在　上取极值的必要条件为利用拉格朗日函数求极值的几何解释：推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如,求函数下的极值.在条件解则目标函数约束条件解即求乘积