平面向量的概念及其运算【更多资料关注微博@高中学习资料库 】.doc

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1、平面向量的概念及其运算考点解读：1.平面向量的基本概念：名称定义备注向量大小与方向不同于数量向量的表示有向线段，字母，坐标不能说向量就是有向线段向量的模大小：零向量模为零的向量记作零向量的方向是任意的单位向量模为1个单位长度的向量与共线的单位向量是向量的基线直线的方向向量通过表示向量的有向线段的直线叫向量的基线，向量叫直线的方向向量直线的方向向量为非零向量，直线的平行向量（共线向量）注意平行向量的几种常见判断方法与任一向量平行或共线相等向量模等方向同相等向量有传递性相反向量模等方向相反的相反向量为注意：

2、（1）相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；（2）两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；（3）平行向量无传递性！（因为有)；例如不一定成立（4）三点共线共线；（5）已知A（1,2），B（4,2），则把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））2.重要定理：（1）两个向量共线定理：如果，则；反之，如果，则，则一定存在唯一一个实数，使（2）平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这

3、一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。（3）已知是直线上任意两点，是外一点，点在直线上的充要条件是3.向量的运算：（1）几何运算：向量运算定　义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则多边形法则(1)交换律：＋＝＋.(2)结合律：(＋)＋＝＋(＋)减法求与的相反向量－的和的运算叫做与的差三角形法则－＝＋(－)（2）数乘运算：实数与向量的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：①

4、

5、＝

6、

7、

8、

9、；

10、②当时，与的方向相同；当时，与的方向相反；当＝0时，＝.(2)运算律：设，是两个实数，则①()＝()；②(＋)＝＋；③(＋)＝＋.（3）坐标运算：①向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)②设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，

11、a

12、＝.注意：向量坐标与点的坐标的区别。4.非零向量共线的判断（注：零向量与任何向

13、量平行）（1）方向相同或相反的两个向量共线（2）向量的基线平行或重合两个向量共线（3）向量的夹角为0或两个向量平行（4）两个向量平行（5）两个向量平行5.有关平行四边形的一些结论：已知两个不共线的向量，在平面内任取一点，过点引，分别以为邻边做平行四边形，则有（1）若，则四边形是____________（2）若，则四边形是____________（3）若且，则四边形是____________（4）若，则课后作业：例1.给出下列命题：①若

14、

15、＝

16、

17、，则＝；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABC

18、D为平行四边形的充要条件；③若＝，＝，则＝；④＝的充要条件是

19、

20、＝

21、

22、且∥.其中正确的序号是________．①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵＝，∴

23、

24、＝

25、

26、且∥，又∵A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则∥且

27、

28、＝

29、

30、，因此，＝.③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同；又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，即使

31、a

32、＝

33、b

34、，也不

35、能得到a＝b，故

36、a

37、＝

38、b

39、且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.变式练习：判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由．(1)若向量与同向，且

40、

41、>

42、

43、，则>；(2)若

44、

45、＝

46、

47、，则与的长度相等且方向相同或相反；(3)若

48、

49、＝

50、

51、，且与方向相同，则＝；(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；(5)若向量与向量平行，则向量与的方向相同或相反；(6)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上；(7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向

52、量是相等向量；(8)任一向量与它的相反向量不相等．(1)不正确，因为向量只讨论相等和不等，而不能比较大小．(2)不正确，因为向量模相等与向量的方向无关．(3)正确．(4)不正确，因为规定零向量与任意向量平行．(5)不正确，因为两者中若有零向量，零向量的方向是任意的．6)不正确，因为与共线，而AB与CD可以不共线即AB∥CD.(7)正确．(8)不正确，因为零向量可以与它的相反向量相等．例2.在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为