导数在经济研究中的应用.doc

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1、导数在经济研究中的简单应用张易（上海海洋大学）摘要：随着市场经济的不断发展，利用数学知识解决经济问题显得越来越重要，而导数是高等数学中的重要概念，是经济分析的重要工具。运用导数可以对经济活动中的实际问题进行边际分析、需求弹性分析和最值分析，从而为企业经营者科学决策提供量化依据。关键词：导数边际分析成本利润（一）引言边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率，即经济函数的导数称为边际。而利用导数研究经济变量的边际变化的方法，就是边际分析方法。在经济学中，习惯用平均和边际的概念描述一个经济变量y对于另外一个经济变

2、量x的y变化。平均概念y表示在自变量x的某一个范围内的平均值。显然，平均值x随y的范围不同而不同，边际概念表示当x的改变量△x趋于0时，y的相应改变量△y与△x的比值△y／△x的变化，即当在某一给定值附近有微小变化时，y的瞬时变化。本文中主要讨论的是通过导数即边际分析法来研究企业经营中成本、收益与利润相关的问题。（二）边际与边际分析边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率，即经济函数的导数称为边际。而利用导数研究经济变量的边际变化的方法，就是边际分析方法。1、总成本、平均成本、边际成本总成本是生产一定量的产

3、品所需要的成本总额，通常由固定成本和可变成本两部分构成。用c(x)表示，其中x表示产品的产量，c(x)表示当产量为x时的总成本。不生产时，x=0，这时c(x)=c(o)，c(o)就是固定成本。平均成本是平均每个单位产品的成本，若产量由x0变化到，则：称为c(x)在内的平均成本，它表示总成本函数c(x)在内的平均变化率。而称为平均成本函数，表示在产量为x时平均每单位产品的成本。例1，设有某种商品的成本函数为：其中x表示产量（单位：吨），c(x)表示产量为x吨时的总成本（单位：元），当产量为400吨时的总成本及平均成本分别为：

4、如果产量由400吨增加到450吨，即产量增加=50吨时，相应地总成本增加量为：这表示产量由400吨增加到450吨时，总成本的平均变化率，即产量由400吨增加到450吨时，平均每吨增加成本13.728元。类似地计算可得：当产量为400吨时再增加1吨，即=1时，总成本的变化为：表示在产量为400吨时，再增加1吨产量所增加的成本。产量由400吨减少1吨，即=-1时，总成本的变化为：表示产量在400吨时，减少1吨产量所减少的成本。在经济学中，边际成本定义为产量增加或减少一个单位产品时所增加或减少的总成本。即有如下定义：定义1：设总

5、成本函数c=c(x)，且其它条件不变，产量为x0时，增加（减少）1个单位产量所增加（减少）的成本叫做产量为x0时的边际成本。即：其中=1或=-1。由例1的计算可知，在产量x0=400吨时，增加1吨的产量时，边际成本为13.7495；减少1吨的产量时，边际成本为13.7505。由此可见，按照上述边际成本的定义，在产量x0=400吨时的边际成本不是一个确定的数值。这在理论和应用上都是一个缺点，需要进一步的完善。注意到总成本函数中自变量x的取值，按经济意义产品的产量通常是取正整数。如汽车的产量单位“辆”，机器的产量单位“台”，服

6、装的产量单件“件”等，都是正整数。因此，产量x是一个离散的变量，若在经济学中，假定产量的单位是无限可分的，就可以把产量x看作一个连续变量，从而可以引人极限的方法，用导数表示边际成本。事实上，如果总成本函数c(x)是可导函数，则有：由极限存在与无穷小量的关系可知：（1）其中，当很小时有：（2）产品的增加=1时，相对于产品的总产量而言，已经是很小的变化了，故当=1时（2）成立，其误差也满足实际问题的需要。这表明可以用总成本函数在x0处的导数近似地代替产量为x0时的边际成本。如在例1中，产量x0=400时的边际成本近似地为，即：

7、误差为0.05，这在经济上是一个很小的数，完全可以忽略不计。而且函数在一点的导数如果存在就是唯一确定的。因此，现代经济学把边际成本定义为总成本函数c(x)在x0处的导数，这样不仅克服了定义1边际成本不唯一的缺点，也使边际成本的计算更为简便。定义2：设总成本函数c(x)为一可导函数，称为产量是x0时的边际成本。其经济意义是：近似地等于产量为x0时再增加（减少）一个单位产品所增加（减少）的总成本。若成本函数c(x)在区间I内可导，则为c(x)在区间I内的边际成本函数，产量为x0时的边际为边际成本函数在x0处的函数值。例2：已知

8、某商品的成本函数为：（Q表示产量）求：（1）当Q=10时的平均成本及Q为多少时，平均成本最小？（2）Q=10时的边际成本并解释其经济意义。解：（1）由得平均成本函数为：当Q=10时：记，则令得：Q=20而，所以当Q=20时，平均成本最小。（2）由得边际成本函数为：则当产量Q=10时的边际成本为5，其经济