弹性力学及其有限元法.doc

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1、弹性力学及有限元分析1、设试件两定点之间的长度为L0，其截面积为F0，加上拉力P后，L0伸长了△L。我们把P/F0称为拉伸应力（σ），△L/L0称为拉伸应变（ε），于是有σ＝P/F0，ε＝△L/L0某种材料的拉伸应力和拉伸应变的比，称为该材料的杨氏模量或弹性模量(E)，即，弹性模量E表征了材料的物理性质。2、根据力学特性，固体通常分为韧性固体和脆性固体。首先分析韧性材料，材料在受力变形过程中，明显地有四个特性点划分三各阶段。a.弹性阶段，这一阶段的明显特征是，当外力逐渐去掉时，变形也逐渐消失，物体能够恢复到原来的形状，物体的这种性质称为弹性，存在一个应力极限称为弹性极限。随着外力的消失而消失

2、的变形称为弹性变形；去掉外力后仍然保留的变形称为残余变形或永久变形。弹性阶段另一个明显特征是，应力与应变保持线性关系。设受力方向为x方向，，这就是简单拉伸时的虎克定律，弹性模量E为常数，表示应力与应变成正比例。通常把弹性极限和比例极限规定为一个值。b.塑性阶段，超过弹性极限后，材料开始失去弹性，进入塑性阶段，这时产生较大的永久变形，应力应变关系不再是线性的。当曲线超过s点（屈服极限）后，材料开始屈服，即在应力几乎不增加的情况下，应变会不断的增加，称s点为屈服极限；当变形大到一定程度后，材料开始强化，要继续增加变形必须再增加外力，到达b点后产生颈缩。从弹性极限到b的变形范围统称为塑性阶段，属于

3、塑性力学的研究范畴。c.断裂阶段，试件产生颈缩后，开始失去抵抗外力的能力，最后发生断裂，相对于b点的应力称为强度极限。脆性材料：它的拉伸曲线图没有明显的三个阶段之分，也没有明显的屈服应力点，材料亦不再满足虎克定律。为了分析上的需要，往往以切线斜率作为弹性模量，即。如果对脆性固体材料加载，应力应变曲线将沿着OA上升，若到A点后即行卸载，应力应变曲线并不沿着原来的途径回复到原点，而是沿着直线AB下降，当全部载荷卸去之后，试件中尚残存一部分永久变形。若以后的加载不超过A点，应力应变关系将在BA上变动，这种脆性材料在重复载荷作用下变成韧性材料的现象称为硬化作用。特别值得注意的是，脆性材料硬化之后，出

4、现了应力应变关系成比例的阶段。这样，根据韧性材料建立的物理模型对于脆性材料同样是有意义的。3、在对固体进行拉伸（压缩）实验时，还会看到试件截面的变化，一般说来，当长度伸长时，截面缩小；长度缩短时，截面增加。假如纵向应变用表示，横向应变用表示，在简单拉伸，即横向不受力的情形下，二者有如下关系：；式中，称为材料的泊松系数或泊松比。4、固体在剪力载荷作用下将发生剪应变。设有一立方体，上、下底的面积为F，受有大小相等方向相反的一对剪力Q，则立方体变成斜方体，其倾角表示了原来直角的改变。称为剪应变。我们把Q/F定义为剪应力（τ），即，实验指出，τ与γ满足下式：，式中，G称为材料的剪切模量，当γ不大时，

5、G为常数。弹性力学不是一个物质一个物质的进行研究，而是根据它们共同的、基本的属性，抽象为统一的、理想化了的模型进行研究，物理模型通常是在科学实验的基础上通过假设或公理来建立的。弹性力学的基本假设如下：（一）物体构造的连续性假设，假定组成物体的介质充满了该物体所占有的全部空间，中间没有任何空隙，是连续的密实体。这一假设是建立弹性力学数学模型和求解必须的，只有介质是连续的，物体内部的应力、应变和位移等物理量才可能是连续的，因而才能够用坐标的连续函数来描述它们的变化规律。作为宏观力学的弹性力学不是从颗粒的力学性质出发，而是从宏观的力学实验出发建立各物理量之间的定量关系，亦即从统计平均的意义上统一了

6、真实物质结构与假定之间的矛盾，这在一般情况下已为实验所证实。因而弹性力学与其它微观理论同时得到发展和应用。（二）物体的完全弹性假设，假定除去引起物体变形的外力之后，物体能够完全恢复到未知此外力时的原来形状，而没有任何残余变形（在温度保持不变的条件下），并假定材料服从虎克定律，即应力与应变成正比。这样，物体在任意瞬时的应变就完全取决于该瞬时所受到的外力，而与它在该瞬时以前的受力历史情况无关，与施加外力的次序无关，亦即，弹性材料对变形的历史无“记忆性”。（三）物体的均匀性假设，假定整个物体是由同一种材料组成的。（四）物体的各向同性假设，假定物体的力学性质在各个方向上都是相同的。（五）小变形假设，

7、假定物体在受力变形以后，体内所有各点的位移都远远小于物体的原来尺寸，应变和转角远远小于1。这一假定，使得在建立弹性体变形以后的平衡方程时，可以用变形以前的尺寸，并不考虑力作用方向随着变形的改变；在研究变形和位移时方可略去应变和转角的二次项和交乘项，从而简化了弹性力学的数学模型，使外力与变形或内力成为线性关系，在一般情形下可利用叠加原理。至于考虑几何上的有限变形或大变形问题，则由几何非线性弹性力学及板、壳的大挠