欧氏几何与非欧几何.doc

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1、欧氏几何与非欧几何整个欧氏几何的理论大厦，建筑在5条几何公理(公设)的基础之上，这5条公理是：(1)从任一点到另外一点能作一条直线(简言之，即通过任意两点可作一条直线)；(2)任何一条有限直线可以沿着直线不断延长；(3)以任意一点为中心，任一距离为半径能作一圆；(4)凡直角皆相等；(5)若一条直线与两直线相交，在同侧的两个内角之和小于两直角，那么不加限制地延长这两条直线，必在该侧相交于一点．前四条公理都十分简明，容易为人们经验所检验．而第五条(称“第5公设”)却显得冗长繁琐，不易检验．历代都有人想把它当作定理由其他4条公理推证出来，从而将它排除在公理之

2、外．其结果虽然都归于失败，但却推得若干与它等价的命题，其中Playfair(1748—1819)提出的等价命题最为著名：过一点能作一条且只能作一条直线，平行于给定的直线．不少教科书(包括我国现行中学几何课本)都用它来代替第5公设，并把它称为“平行公理”或“欧几里得公理”，因为它反映了欧氏几何的本质特征．长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。

3、因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？罗巴切夫斯基是从1815—1816年着手研究第五公设问题的．到1826年2月23日于喀山大学物理数学系学术会议上首次宣读自己新几何学的论文——《简要叙述平行线公理的一个严格证明》，前后经过了十年艰苦的努力．开始，他像其他所有研究者一样，也试图给出第五公设的证明，但不久就意识到这是徒劳的，对于

4、第五公设，“至今没能找到它的严格证明，以往给出的任何一种证明，只能是一种说明，而不配称做是真正意义下的数学证明”。通过错误与失败的精心研究。罗巴切夫斯基大胆地提出原问题的“反问题”，即第五公设在数学上是不可证明的．用他自己的话说就是：“我推断，不依赖于经验，去寻求这个真实性的证明是徒劳的”．因为“这个真实性还没有包含在我们对现实事物的概念自身中”．那么，罗巴切夫斯基是怎样成功地解决这个反问题的?又是怎样从中发现非欧几何新天地的?原来，他运用了反证法这一间接证明方法．罗巴切夫斯基的基本思想是，为证“第五公设不可证”，首先用第五公设的相反命题代替它，和其他

5、公设构成一个新的公理系统，然后，对这个新公理系统展开逻辑推演．假设第五公设在数学上可证，那么一定能够推演出逻辑矛盾来，至少第五公设和它的相反命题就是一对逻辑矛盾；反之，如果推演不出逻辑矛盾，就自然反驳了“第五公设可证”的假设，从而也就间接证得“第五公设不可证”．基于这种思想，罗巴切夫斯基从第五公设的等价命题普雷菲尔公理的否定；“过平面上直线外一点，至少可引两条直线与已知直线不相交”．之后，他从这个相反命题，及欧几里得的其他公设出发而进行逻辑推演，推出一个新的演绎几何体系——非欧几何(双曲型几何)3/3．在这个新几何中，与平行公理无关的命题与欧氏几何一致

6、；与平行公理有关的定理则被新的定理代替，其中有一些新定理与人们的直接经验相矛盾．诸如：“三角形三内角之和小于180°”，“两三角形若三组对应角分别相等，则必全等”等。尽管如此，经过仔细推敲，罗巴切夫斯基并没有发现它们之间含有任何逻辑矛盾。罗氏几何在逻辑上是站得住脚的。于是，远见卓识的罗巴切夫斯基断言，这个“在结果中并不存在任何矛盾”的新公理系统属于一种新几何，它的逻辑完整性和严密性可以和欧氏几何相媲美．而这个新几何的存在，就是对“第五公设不可证”的间接证明．最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：第一，第五公设不能被证明。第二，在新的公理体系中展开的一连

7、串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。这是第一个被提出的非欧几何学。从罗氏几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。紧接着黎曼（Riemann）又提出另一种类型的非欧几何(椭圆型几何)它用以下新公理来代替平行公理：任何两条直线均相交(即不存在平行线)。黎曼几何的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。坚持第五公设，引出欧几里德几何。以“可以引无数条平行线”为新公设

8、，引出罗氏几何（或称双曲几何）。此图为一三角形于一双曲抛物面上。以“一条平行线也不能引”为新公