函数的最值随堂优化训练课件.ppt

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1、1.3.2函数的最值【学习目标】1．理解函数的最大(小)值及其几何意义．2．学会运用函数图象理解和研究函数的性质．1．函数的最大值f(x0)＝M一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有________；②存在x0∈I，使得__________．那么称M是函数y＝f(x)的最大值．练习1：函数f(x)＝3x在[0,3]上的最大值是________．9f(x)≤M2．函数的最小值f(x0)＝M一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于

2、任意的x∈I，都有________；②存在x0∈I，使得__________．那么称M是函数y＝f(x)的最小值．3f(x)≥M函数最高点最低点f(x)＝－2x＋3f(x)＝－2x＋3，x∈[－1,2]f(x)＝x2＋2x＋1f(x)＝x2＋2x＋1，x∈[－2,2]【问题探究】完成下表：无无5－1无090对于一个函数来说，不一定有最值，若有最值，则最值一定是值域中的一个元素．上表体现了函数值的什么特征？答案：表格从上到下，从左到右依次填：题型1利用图象求最值【例1】求下列函数的最大值和最小值：(

3、2)y＝

4、x＋1

5、－

6、x－2

7、.图D11解：(1)二次函数y＝3－2x－x2的对称轴为x＝－1.画出函数的图象，由图D11，可知：作出函数的图象，由图D12，可知：y∈[－3,3]．所以函数的最大值为3,最小值为－3.图D12当函数中含有绝对值时，可以采用分类讨论的方法去绝对值，将函数化为分段函数．利用图象研究其单调性及最值，关键要正确作出函数的图象．【变式与拓展】1．图1-3-2为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．图1-3-2解：当x＝3时，函数y＝f(

8、x)取最大值为3；当x＝－1.5时，函数y＝f(x)取最小值为－2.函数的单调递增区间为[－1.5,3)，[5,6)；单调递减区间为[－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]．题型2利用单调性求函数的最值问题思维突破：先判断函数的单调性，再求其最值．∴f(x1)－f(x2)>0.∴f(x)在[1,2]上是减函数．运用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数的图象不易作出时，用函数的单调性求最值几乎成为首选方法．【变式与拓展】2．函数y＝4x－2在区间[3,6]上是单调递_______

9、_函数，最小值是________．减13．求函数f(x)＝xx－1在区间[2,5]上的最大值与最小值．解：任取2≤x10，x1－1>0.∴f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)0恒成立，试求实数a的取值范围．(2)方法一：f(x)＞0对x∈[1，＋∞)恒成立⇔x2＋

10、2x＋a＞0对x∈[1，＋∞)恒成立．设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，则y＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上是增函数，从而ymin＝3＋a.于是当且仅当ymin＝3＋a＞0，即a>－3时，f(x)>0对x∈[1，＋∞)恒成立，故实数a的取值范围是(－3，＋∞)．方法二：f(x)>0对x∈[1，＋∞)恒成立⇔x2＋2x＋a>0对x≥1恒成立⇔a>－x2－2x对x≥1恒成立．令μ＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1，其在[1，＋∞)上是减函数，∴当x＝1时，μmax＝－3.因此a>－3.故实

11、数a的取值范围是(－3，＋∞)．【变式与拓展】4．A，B两城相距100km，在两地之间距A城xkm处的D地建一核电站给A，B两城供电．为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于10km.已知每个城市的供电费用和供电距离的平方与供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25，若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．(1)把月供电总费用y表示成x的函数，并求其定义域；(2)核电站建在距A城多远，才能使供电费用最小．解：(1)由题意知，核电站距离B城的距离为(100－x)km，则又x≥10，且100－x≥

12、10，则有10≤x≤90.故y与x的函数关系式为【例4】已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5，5].(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值和最小值；(2)求使函数y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数的a的取值范围．解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈－5，5，所以f(x)min＝f(1)＝1，f(x)max＝f(－5)＝37.(2)函数y＝f(x)的对称轴为x＝－a，函数在区间[－5，5]上是单调函数，即－a≤－5或－a≥5，解得