湘大概率论与数理统计复习题.docx

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1、一、单项选择题1.设是两个互不相容的事件，则一定成立。2.随机变量的分布函数一定为。3.设随机变量，则服从的分布为。4、设随机变量与的期望都存在，则一定有。5、设随机变量服从指数分布，则等于。1、设是两个互不相容的事件，则一定成立。答案：解析：互不相容互斥即有：互斥互不相容；反之不成立。例子:若事件总体集合为，那么与为互不相容事件，但不是互斥事件。若事件总体集合为，那么与为互不相容事件，又是互斥事件。则很显然选项是错误的，（原因是：题中没有说，构成整个样本空间）。由是两个互不相容的事件，则有以下式子成立：有条件概率公式得：即选项正确。所以选项错误。2.随机变量的分布函数一定为。答案:

2、解析:分布函数的性质；且；。是的单调不减函数，即若，则。3、设随机变量，则服从的分布为。答案：解析：，根据的定义有：设其中，；又因为，所以根据分布的定义知，故选。知识点：1、分布设相互独立，且都服从标准正态分布，则称随机变量所服从的分布为自由度为的分布，记为。2、分布设，，且与独立，则称随机变量，所服从的分布为自由度为的分布，记为。3、分布设：，，且与独立，则称随机变量所服从的分布为第一自由度为，第二自由度为的分布，记为。4、设随机变量与的期望都存在，则一定有。答案：考点：方差的计算公式：由于与的期望都存在，知存在，并且则有：故选选项。5、设随机变量服从指数分布，则等于。答案：D解析

3、：由，知，所以。知识点：1、两点分布，；2、，；3、，4、，5、指数分布，参数为，6、，二、填空题1、袋子中有5白球3黑球，一次无放回取球，每一次取1球，则第6次取白球的概率为。2、已知随机变量X满足，则由切比雪夫不等式，有3、设，，是总体未知参数的无偏估计，，如果也是的无偏估计，则。4、已知相互独立的随机变量，，则的概率分布密度函数。5、设总体的方差为50，为样本，则样本均值的方差=。解析：1、解：。2、考察：切比雪夫不等式，本题中的，代入公式，得：3、该题属于无偏估计问题有定义知如果的数学期望等于未知参数，即,则称为的无偏估计。由，，是总体未知参数的无偏估计，则有，，设是的无偏估

4、计，则有，即有，推出。4、解:,有正态分布的密度函数知。考点：正态分布具有可加性，正态分布的密度函数数学期望的线性性质：。方差的线性性质：，2、解：有考点：定理:设是来自某个总体的样本，为样本均值，（1）若总体分布为,则的精确分布为（2）若总体分布未知或不是正态分布，存在，则较大时的渐进正态分布为，常记（这里的渐近分布是指n较大的近似分布）。三、袋子中共有个球，其中个白球，个黑球。甲先取一球，不再放回，乙再取一球。（1）求乙取得白球的概率；（2）求在已知已取得白球的条件下甲取得白球的概率。解：（1）（2）四、袋中有6个产品，其中有4个正品2个次品，每次从中随机抽取1个产品，如果取到正

5、品不放回，直到取到次品为止。求：（1）取到产品数的概率分布；（2）；（3）的概率分布。解：可取1,2,3,4,5；X12345P(2)(3)x12345211264774五、已知二维随机变量的联合概率密度为求（1）常数A（2）X的边缘密度函数；（3）；（4）与是否独立？为什么？（5）已知条件下Y的条件分布密度函数。解（1）得：。（2）（3）(4)不独立不独立。（5）：六、设总体的分布密度函数为其中为未知数，设为其样本。求（1）参数的矩法估计；（2）参数的极大似然法估计。解（1）得：。（2）求参数的矩法估计的步骤：（1）判断未知参数的个数，选着等式建立方程，若一个未知参数选：若两个未知

6、参数选着：求参数的极大似然估计的步骤：a:写出似然函数b:将似然函数两边取对数c:对参数求导，并令导数等于零d:求解方程得极大值点，该极大值点就是所求的参数的极大似然估计。（求参数的极大似然估计就是求似然函数的极大值点的问题。）七、设某产品的某向质量指标服从正态分布，已知它的标准差，先从一批产品中随机抽取了25个，测得该项指标的平均值为1637，（1）求总体均值的置信水平为0.95的区间估计；（2）在显著性水平下检验假设。（已知）解：（1），代入公式（2）拒绝区由于，，落入接受域，则接受原假设。知识点：一、单个正态总体参数的区间估计1、正态总体均值的区间估计（1）设正态总体，已知，求

7、的区间估计，样本函数；对于置信概率为，总体均值的置信区间为（2）设正态总体，未知，求的区间估计，样本函数2、正态总体方差的区间估计（1）设正态总体，已知，求的区间估计样本函数对于置信概率为，总体方差的置信区间为（2）设正态总体，未知，求的区间估计样本函数对于置信概率为，总体方差的置信区间为一、两个正态总体均值与方差比的区间估计省略课后习题：1：设随机变量的概率密度为（1）求；（2）利用切比雪夫不等式求的近似值。解：，所以(1)（2）2：设是相互独立的随机变