大学微积分课件(PPT版).ppt

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1、定积分第一节定积分的概念与性质abxyoA?曲边梯形由连续曲线yf(x)(f(x)0)、x轴与两条直线xa、xb所围成.实例1（求曲边梯形的面积）一、问题的提出yf(x)abxyxoabyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）曲边梯形如图所示，在区间[a,b]内插入若干个分点，ax0x1x2xn1xnb,oaxi1ixixn1bxyx1把区间[a,b]分成n个小区间[xi1,xi]，长度为xixixi1;在每个小

2、区间[xi1,xi]上任取一点，i以[xi1,xi]为底，f(i)为高的小矩形面积为Aif(i)xinAf(i)xii1当分割无限加细,记小区间的最大长度或者(x)xmax{x1,x2,xn}趋近于零(x0或者0)时，曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为Alimf(i)xin0i1实例2（求变速直线运动的路程）设某物体作直线运动，已知速度vv(t)是时间间隔[T1,T2]上t的一个连续函数，且v(t)0，求物体在这段时间内所经过的路程思路：把整段时间分割成若干小

3、段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．（1）分割T1t0t1t2tn1tnT2tititi1siv(i)ti部分路程值某时刻的速度（2）求和nsv(i)tii1max{t1,t2,,tn}（3）取极限slimv(i)tin0i1路程的精确值定义设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入记xmax{x1,x2,,xn}，如果不论对[a,b]若干个分点ax

4、xxxxb012n1n把区间[a,b]分成n个小区间，各小区间的长度依次为xixixi1，(i1,2,)，在各小区间上任取一点i（ixi），作乘积f(i)xin并作和Sf(i)xi，i1(i1,2,)二、定积分的定义怎样的分法，也不论在小区间[xi1,xi]上a积分下限f(x)dxIlimf(i)xibn0i1被积函数被积表达式积分变量[a,b]积分区间点i怎样的取法，只要当x0时，和S总趋于确定的极限I，我们称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b

5、]上的定积分，记为积分上限积分和注意：（1）积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关.abbf(x)dxaf(t)dtaf(u)dub（2）定义中区间的分法和i的取法是任意的.（3）当函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在时，称f(x)在区间[a,b]上可积.当函数f(x)在区间[a,b]上连续时，称f(x)在区间[a,b]上可积.定理1定理2设函数f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个第一类的间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积.三、存在定理f(x)0,af(x)dxAb曲边梯

6、形的面积f(x)0,af(x)dxA曲边梯形的面积的负值bA1A2A3A4A4A2A3f(x)dxA1ba四、定积分的几何意义几何意义：它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线xa,xb之间的各部分面积的代数和在x轴上方的面积取正号；在x轴下方的面积取负号．例1利用定义计算定积分xdx.102解将[0,1]n等分，分点为xi，(i1,2,,n)ni小区间[xi1,xi]的长度xi取ixi，(i1,2,,n)，(i1,2,,n)n1nf(i)xii1ixii1n

7、2xx,i12iinni1n2i1ni2n3i1n161n(n1)(2n1)n31,12116nnx0nxdx102xiin0i1lim2nlim111211.nn63五、定积分的性质证a[f(x)g(x)]dxnblim[f(i)g(i)]xi0i1limf(i)xilimg(i)xinn0i10i1af(x)dxag(x)dx.（此性

8、质可以推广到有限多个函数作和的情况）bbbbb性质1a[f(x)g(x)]dxaf(x)dxag(x)dx.akf(x)dxkaf(x)dxk(bb为常数).证akf(x)dxlimkf(i)xibn0i1limkf(i)xinni