高数隐函数与参数方程求导.ppt

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1、主讲教师:王升瑞高等数学第十三讲1第四节一、隐函数的导数三、由参数方程确定的函数的导数隐函数与参数方程求导第二章二、对数求导法2一、隐函数的导数若由方程可确定y是x的函数,由表示的函数,称为显函数.例如,可确定显函数可确定y是x的函数,但此隐函数不能显化.此函数为隐函数.则称如3两边对x求导(含导数的方程)隐函数求导方法:例1设是由方程所确定的，求解：方程两边同时对x求导。4例2求由方程在x=0处的导数解:方程两边对x求导得因x=0时y=0,故确定的隐函数代入(*)求解。5例3.求椭圆在点处的切线方程.解:椭圆方程两边对x求导故切线方程为即将点代入6求其反函数的导数.解:方法1方法2等

2、式两边同时对求导例4.设7由方程确定,解:方程两边对x求导,得再求导,得②当时,故由①得再代入②得求①例5设若求再将代入上式。8观察函数方法:先在方程两边取对数,对数求导法--适用范围:二、对数求导法然后利用隐函数的求导方法求出导数.9例6.求的导数.解:两边取对数,化为隐式两边对x求导101)对幂指函数可用对数求导法求导:说明:按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意:11例7求下列函数的导数两边取对数两边对x求导1.122.对x求导两边取对数求13例8.设求提示:分别用对数微分法求答案:14三、由参数方程确定的函数的导数若变量y是x的函数，其对应关系是通过第三个变量t联系在一起的，即

3、x,y是t的函数,这就是参数方程。参数方程的一般形式为：t是参变量。例如：表示抛物线表示半径为a的圆：例如：炮弹以初速度v0与水平方向角t射出，其运动轨迹方程为：表示。又如：15若参数方程可确定一个y与x之间的函数可导,且则时,有时,有(此时看成x是y的函数)关系,参数方程求导16求在处的切线方程。解：点坐标：切线方程：例9已知摆线方程17,求解：例10设方程组两边同时对t求导,得18极坐标：若将直角坐标系中的原点取为极点，轴的正半轴取为极轴。设直角坐标系中点的坐标极坐标系中点的坐标称为极坐标的极径。称为极坐标的极角。把由极轴出发逆时针方向为正。两坐标系中变量间关系：19在对应于的点处

4、的切线方程.解:化为参数方程当时对应点斜率∴切线方程为例11求螺线20求参数方程所表示的函数的二阶导数.解:已知存在则也可使用一阶导数21例12设求?已知注意:则有22求解：例13设23,且求已知解:例1424内容小结1.隐函数求导法则直接对方程两边求导2.对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3.参数方程求导法极坐标方程求导转化求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式25作业P1091;2;3;4；5（1）（3）;6;7(2)（4）;8.26在求对数螺旋线线方程。解：因为得8.对求导，对应点处的切故所求切线方程为27