算法的时间复杂度.doc

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1、时间复杂度：如果一个问题的规模是n，解这一问题的某一算法所需要的时间为T(n)，它是n的某一函数，T(n)称为这一算法的“时间复杂度”。渐近时间复杂度：当输入量n逐渐加大时，时间复杂性的极限情形称为算法的“渐近时间复杂度”。当我们评价一个算法的时间性能时，主要标准就是算法的渐近时间复杂度，因此，在算法分析时，往往对两者不予区分，经常是将渐近时间复杂度T(n)=O(f(n))简称为时间复杂度，其中的f(n)一般是算法中频度最大的语句频度。此外，算法中语句的频度不仅与问题规模有关，还与输入实例中各元素的取值相关。但是我们总是考虑在最坏的情况下的时间复杂度。以保证

2、算法的运行时间不会比它更长。常见的时间复杂度，按数量级递增排列依次为：常数阶O(1)、对数阶O(log2n)、线性阶O(n)、线性对数阶O(nlog2n)、平方阶O(n^2)、立方阶O(n^3)、k次方阶O(n^k)、指数阶O(2^n)。下面我们通过例子加以说明，让大家碰到问题时知道如何去解决。1、设三个函数f,g,h分别为f(n)=100n^3+n^2+1000,g(n)=25n^3+5000n^2,h(n)=n^1.5+5000nlgn请判断下列关系是否成立：（1）f(n)=O(g(n))（2）g(n)=O(f(n))（3）h(n)=O(n^1.5)（4

3、）h(n)=O(nlgn)这里我们复习一下渐近时间复杂度的表示法T(n)=O(f(n))，这里的"O"是数学符号，它的严格定义是"若T(n)和f(n)是定义在正整数集合上的两个函数，则T(n)=O(f(n))表示存在正的常数C和n0,使得当n≥n0时都满足0≤T(n)≤C?f(n)。"用容易理解的话说就是这两个函数当整型自变量n趋向于无穷大时，两者的比值是一个不等于0的常数。这么一来，就好计算了吧。◆(1)成立。题中由于两个函数的最高次项都是n^3,因此当n→∞时，两个函数的比值是一个常数，所以这个关系式是成立的。◆（2）成立。与上同理。◆（3）成立。与上同

4、理。◆（4）不成立。由于当n→∞时n^1.5比nlgn递增的快，所以h(n)与nlgn的比值不是常数，故不成立。2、设n为正整数，利用大"O"记号，将下列程序段的执行时间表示为n的函数。(1)i=1;k=0while(i1while(x>=(y+1)*(y+1))y++;解答：T(n)=n1/2，T(n)=O(n1/2)，最坏的情况是y=0，那么循环的次数是n1/2次，这是一个按平方根阶递增的函数。(3)x=91;y=100;whi

5、le(y>0)if(x>100){x=x-10;y--;}elsex++;解答：T(n)=O(1)，这个程序看起来有点吓人，总共循环运行了1000次，但是我们看到n没有?没。这段程序的运行是和n无关的，就算它再循环一万年，我们也不管他，只是一个常数阶的函数。O(1)Temp=i;i=j;j=temp;                    以上三条单个语句的频度均为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个

6、较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。O(n^2)2.1.交换i和j的内容    sum=0；                （一次）    for(i=1;i<=n;i++)      （n次）       for(j=1;j<=n;j++)（n^2次）        sum++；      （n^2次）解：T(n)=2n^2+n+1=O(n^2)2.2.      for(i=1;i

7、     ②         }         解：语句1的频度是n-1         语句2的频度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1         f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2         该程序的时间复杂度T(n)=O(n^2).         O(n)                                                            2.3.   a=0;   b=1;                     ①   for(i=2;i<=n;i++)②   {     

8、   s=a+b;　　　　③      b=a;