《平面向量的数量积》教学设计及反思.doc

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1、《平面向量的数量积》教学设计及反思交口第一屮学赵云鹏平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高屮数学的一个重要概念，它是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具,在每年高考屮也是重点考查的内容。向量作为一种运算工具，其知识体系是从实际的物理问题屮抽象出来的，它在解决几何问题屮的三点共线、垂直、求夹角和线段长度、确定定比分点坐标以及平移等问题小显示出了它的易理解和易操作的特点C一、总体设想：本节课的设计有两条喑线：一是围绕物理屮物体做功，引入数量积的概念和几何意义；二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍牛出新知识一一垂直的判

2、断、求夹角和线段长度的公式。教学方案可从三方面加以设计：一是数量积的概念；二是几何意义和运算律；三是两个向量的模与夹角的计算C二、教学H标：1.了解向量的数量积的抽象根源。2.了解平面的数量积的概念、向量的夹角3.数量积与向量投影的关系及数量积的几何意义4.理解掌握向量的数量积的性质和运算律，并能进行相关的判断和计算三、重、难点：【重点】1.平面向量数量积的概念和性质2.平面向量数量积的运算律的探究和应用【难点】平面向量数量积的应用四、课吋安排：2课吋五、教学方案及其设计意图:平面向量数量积的物理背景平面向量的数量积，其源自对受力物体在

3、其运动方向上做功等物理问题的抽象。首先说明放置在水平面上的物体受力F的作用在水平方向上的位移是s,此问题屮出现了两个矢量，即数学屮所谓的向量，这时物体力F的所做的功为"=

4、F

5、•环cos&,这里的0是矢量F和s的夹角，也即是两个向量夹角的定义基础，在定义两个向量的夹角吋，要使学牛明确“把向量的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角的范围。这给我们一个启示：功是否是两个向量某种运算的结果呢？以此为基础引出了两非零向量a,b的数量积的概念。2.平面向量数量积(内积)的定义已知两个非零向量盘与b,它们的夹角是B,贝IJ数量

6、a

7、

8、Z7

9、

10、cos0叫盘与b的数量积,记作即有ab=

11、^

12、

13、/>

14、cosO,(0<0<7r).并规定0与任何向量的数量积为0.零向量的方向是任意的，它与任意向量的夹角是不确定的，按数量积的定义ab=

15、tz

16、

17、ft

18、cos0^法得到，因此另外进行了规定。3.两个非零向量夹角的概念已知非零向量&与乩作04=a,OB=b,则Z/lOB=fK0<6

19、Z>

20、cos0,a•方是记法，叶同cos&是定义的实质它是一个实数。按照推理，当OS&v兰时，数量积为正数；当&二兰时，数量积为零；22当兰时，数量积为负。22.“投影”

21、的概念定义:

22、/?

23、cos0叫做向量b在g方向上的投影。投影也是一个数量，它的符号取决于角8的大小。当0为锐角时投影为止值；当e为钝角时投影为负值；当e为直角吋投影为o；当e=o°吋投影为b；当0=180°时投影为-b.因此投影可正、可负，还可为零。根据数量积的定义,向量:b在CI方向丄的投影也可以写成a・b问注意向量。在b方向上的投影和向量b在。方向上的投影是不同的,应结合图形加以区分。向量的数量积的几何意义:数量积a-b等于a的长度与b在a方向上投影

24、/?

25、cos0的乘积.向量数量积的几何意义在证明分配律方向起着关键性的作用

26、。其几何意义实质上是将乘积拆成两部分：问和0

27、・cos&。此概念也以物体做功为基础给岀。

28、b

29、・cos&是向量方在a的方向上的投影。6.两个向量的数量积的性质:设a、b为两个非零向量，则(1)q丄boab=0；(2)当a与b同向时,ab=a\b；当a与b反向时,ab=-a\b.别的aa=或

30、aAJaJa(3)

31、a・b

32、Wa\b(4)cos&=其屮&为非零向量Q和b的夹角。例1.(1)己知向量a,b,滅足

33、b

34、=2,a与b的夹角为航Zb在a上的投影(2)^b=4,a・b=6,贝Ua在方方向上投影为例2.已知问=3,问

35、=4,按下列条件求a•方(l)a//h(2)a丄b(3)q与b的夹角为150°7.平面向量数量积的运算律1.交换律：a•b=b•a证：设a,b夹角为0,则q•b=

36、q

37、

38、/j

39、cos0,h•a=

40、/)

41、

42、^

43、cos0・a•b=b•a2.数乘结合律：(入=九(％)=a•(九b)证：若入＞0,(Xa)h=X

44、a

45、

46、6

47、cos0,X(a-6)=X

48、a

49、

50、6

51、cos0,a(Xb)=X

52、«

53、

54、Z?

55、cosG,若九v0,=

56、Xa

57、

58、6

59、cos(7t-0)=-X

60、a

61、

62、&

63、(-cos0)=X

64、a

65、

66、Z?

67、cos0,入(ab)=X

68、a

69、

70、6

71、cos0

72、,a•(入b)=

73、n

74、

75、X6

76、cos(7i-6)=-X

77、a

78、

79、6

80、(-cos0)=X

81、a

82、

83、6

84、cos0.1.分配律：(a+bc=ac+be在平面内取一点O,作OA=a,7B=b,~OC=c,•:a^b(