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1、5.2高阶线性微分方程•类简单的n阶线性微分方程的形式如下:dny,r>ndtj"Tdt+d)‘Cll.h-2dtdy~dt+any或用另一种符号表示为:Z>(/0厂("j)Z>(1).f⑴a)+……+a„y=b方程中的第n阶导数(左边第一项)是最筒阶导数，所以它是n阶导数。它还是线性方程，因为因变量y及所有导数都是一次的，血且不出现y和其任意阶导数相乘的乘积项。此外，读者还应注意，这个微分方程特征在于常系数(各个a)和常数项(b)。一、二阶微分方程。•••y⑴⑴+^2)5⑴在这方而，我们冋顾一下在一阶线性微分方程中引入且在这里同样可以应用的命题：如果是余
2、函数，亦即简化方程y(0+^)y⑴+=o(2)的通解(具有任意帘数)，如果y”是特解，即完备方程y({)+©)/(/)+仏)=〃的任意特解(不含任意常数)，则y(t)=y+是完备方程的通解。止如前面所解释的那样，y,部分使我们得到了该项瞬时意义上变量y的均衡值，血y则揭示了在每一时点，时间路径y(t)与均衡的偏离。特别积分对于帘数系数和常数项，特别积分相对容易求出01-若02^0,则儿=ba2例：求方程y⑴+y(r)—2y=-10的特别积分。这里ai=_2,b=—10,I大I此特别积分为y〃二—1丫2二5。2-若02=°说严0,则V=—r卩0例：求方程y(
3、f)+y(r)=TO的特别积分。这里ax=1，Z=°少=-10，因此特别积分为儿=-10/bi3-若0
4、=02=°，则，儿石厂例：求方程yt）=-10的特别积分这里a产a广o,b=-io,所以特别积分为儿=-5广余函数二阶微分方程（1）的余函数定义为其简化方程（2）的通解。若我们采用试探解y=Aertf则必有y的导数（r）=/-Ae，f.and.yt）=r2A,在y及其一阶和二阶表达式的基础上，上述二阶微分方程的简化方程可表示为。若求出上式的解，或者A等于零，或者方程（r2+6Z1r+^2）=0成立。因为A可山初始条件求得，所以有必要求方程的解。方程（
5、3）被称为齐次方程（2）或完备方程（1）的特征方程（或辅助方程），因为它是「的二次方程，所以产生如下两个解（特征根）则八+厂2=一。「八厂2=02。这两个解意味看微分方程两个独立的解，即只=4疋"，y广4幺“。其中人和4?为任意常数，八和：为特征方程的特征根。完备方程的通解可写成：y=丁］+北°山于特征根的収值有三种情况，需要対通解进行调整。第一种情况（不同实根）：y广X+刃二A刃+W（厂严厂J例：解微分方程y⑴+y（“—2y=—10-1+Vl+8已求得”广5,以下求余函数。八，几二―二^——=1,-2所以W）=y+儿=人刃+A2er-+5。若已知初始条件
6、）＜0）=12,y（0）=-2,可解得A=4，A?=3，因此微分方程为:曲）=4尹+3才+5第二种情况（重实根）二重根情况下的余函数为：乂=A^e^A^e例：解微分方程：y(r)+6y(z)+9=27解：r=-3,所以余函数为：y=+A4ze3r，该方程的解为:a~3/▲一3f=A^e+A^e4-3假设初始条件：y(0)=5,y(0)=-5,可求得人=2,人=1,该方程的解为：r一3/—3/小y=2e+te+3作业：求微分方程(1)+3y—4y=12(2)y-2y+1=3II•II•(3)y+6y+5y=10(4)y+8y+16=0(1)求每个方程的余函数
7、；(2)求每个方程的通解，利用初始条件y(0)=4,y(0)=2求定解。第三种情况(虚根)：稍后讨论动态稳定性对第一种情况,无论初始条件如何,我们可以确定,当且仅当两个根rl和r2均为负,方可达到动态稳定均衡。对第二种情况，无论初始条件如何，条件r<0确实是当t-时，整个完备方程趋近于零,产生瞬时动态稳定均衡的充要条件。第三种情况当系数存在°：v4°2，特征根将是一对共轨复数ri,r2=h±vi其中―字一则余函数的形式为：y=e，r(Aieli，+t-ii•・r-v/z・山€=cosvf+zsinvrand幺=cosvr-sinvty=/[y4i(cos
8、W+isinvf)+人(cosv/-isinv/)]则=e[(A+cosw+KA-A2)sinvt=eAscosvt+A6sinvd^As=A+=(A一例：求解微分方程y+2y+17y=34的解，初始条件为y(0)=3,y(0)=11解：可求得特别积分为:ba2=2曲于d；—4Q2=2，—4xl7=—64<(),所以可以得到一对共純复数特征根，其中因此余函数为：y=£'(y^.cos^+y46sin4r)合并特别积分和余函数，可得y=y+儿=e(4,cos4f+^sinvt)+2用两个初始条件可以求得A5=l,A6=3,所以该方程为：y=wT(cos
9、4f+3sin4f)+2动态稳定性分析对于任意A5、A6,总可以找
