电容器电场能表达式的证明.doc

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1、标题：电容为C，电压为U的电容器，其电场能为E=U2C。证明1：如左图，初始电压为U的电容器C开始向外部放电，电流使得上极板的正电荷不断地被搬运至下极板中和负电荷（事实可能并不是这样，但为方便起见暂且这样表述），并释放能量（电场能），同时电压降低，电荷减少。在任何一个短时间段dt内，认为电压U在这个时段内恒定不变，而电荷量的变化量为dQ，则这段时间内电容器释放的能量dW（即电荷量为-dQ的电荷经过电压U所做的功）满足：dW=－U*dQ而根据Q=CU可得：dW=－*dQ整个放电过程中，电场能完全释放，电荷量从最初的Q降为0，即将上述微分在这个范围上进行积分，得到电场能的表达式

2、：E=W==最终得到E=W=Q2,即=C2U2，即=U2C。所以标题成立。证明2：（此法较为麻烦，但还是在此列举以供参考以及分享知识）绪论：如图，在一个C-R电路中，一个事先已充电完毕的电容器（初始电量为Q0，初始电压为U0）在电路连通后给电阻R放电，以电路连通的那一刻为计时起点，先研究一下该电路中的电流i随时间变化的函数关系i（t）。分析得：在极板上，dt时间内电荷量Q的减少量即为i（t）*dt：－dQ=i（t）*dt而根据欧姆定律，i（t）满足：i（t）=而且：Q（t）=C*U（t）综上可得一个式子：－dQ=dt这个式子实质上是个微分方程：解法：转化得dQ=－dt，两边

3、积分得：lnQ（t）+k1=－t+k2，k1、k2是两个常数，然后转化可得Q（t）=e^(－t+k2-k1)=e^(－t)*e^(k2-k1)让e^(k2-k1)成为一个新的常数K，则Q（t）=Ke^(－t)，之后代入初始条件Q（t=0）=Q0，得到了Q（t）=Q0e^(－t)。总上解得：Q（t）=Q0e^(－t)对Q（t）求导可知我们所要求的i（t）=Q0e^(－t)=e^(－t)绪论结束后，让我们继续分析（如图），易知电容器的电场能E在单位时间内的减少量即为电流i在R上做的电功。即在dt时间内：–dE=i2R*dt将它在时间t∈（0，+∞）上进行积分：E=计算得：E=U

4、02C所以标题成立。以上便是证明过程。有任何问题请发表相关评论，以便检查删除！