拉普拉斯变换.pdf

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1、附录1.拉普拉斯变换附录1.1拉氏变换的定义如果有一个以时间为变量的函数ft()，它的定义域是t0，那么拉氏变换就是如下运算式stFs()ftedt()A-1t式中s为复数。一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是（1）在t0时，ft()0；（2）在t0时的任一有限区域内，ft()是分段连续的；st（3）ftedt()0在实际工程中，上述条件通常是满足的。式A-1中，Fs()成为像函数，ft()成为原函数。为了表述方便，通常把式A-1记作Fs()Lft[()]如果已知象函数Fs()，可用

2、下式求出原函数1cjstft()Fseds()（A-2）2jcj式中c为实数，并且大于Fs()任意奇点的实数部分，此式称为拉氏变换的反变换。同样，为了表述方便，可以记作1ft()LFs[()]为了工程应用方便，常把Fs()和ft()的对应关系编成表格，就是一般所说的拉氏变换表。表A-1列出了最常用的几种拉氏变换关系。一些常用函数的拉氏变换附录1.1.1单位阶跃函数的拉氏变换这一函数的定义为0,t0ut()0,t0它表示t0时，突然作用于系统的一个不变的给定量或扰动量，如图3-

3、1所示。单位阶跃函数的拉氏变换为11ststFs()edt[e]00ss在进行这个积分时，假设s的实部比零大，即Re[]0s，因此stlime0t第1页共12页附录1.1.2单位脉冲函数的拉氏变换单位脉冲函数也是作为自动控制系统常用的标准输入量。它是在持续时间0期间内作用的矩形0,0tt和波，其幅值与作用时间的乘积等于1，如图3-3所示。其数学表达式为()t1lim0t0其拉氏变换为stL[()]t()slim()tedt0

4、0st11eslim[]lim[1e]000ss221sslim[1()]10s1!2!附录1.1.3单位斜坡时间函数和抛物线时间函数的拉氏变换0,t0单位斜坡时间函数为ft()tt,0如图3-2所示，斜坡时间函数的拉氏变换为sttst11stFs()tedt[ee]。Re[]0s2200sss同理单位抛物线函数为12ft()t21其拉氏变换为Fs()，Re[]0s。3s附录1.1.4正弦和余弦时间函数的拉氏变换正弦

5、函数的拉氏变换为1stjtjtstL[sint]Fs()sintedt(ee)edt002j11(sj)t(sj)tedtedt22jj00111()2jsjsj22s同理求得余弦函数的拉氏变换为L[cost]Fs()22s常用的拉氏变换法则（不作证明）1.线性性质拉氏变换也遵从线性函数的齐次性和叠加性。拉氏变换的齐次性是一个时间函数乘以第2页共12页常数时，其拉氏变换为该时间函数的拉氏变换乘以该常数，即Laft(())

6、aFs()拉氏变换的叠加性是：若ft()和ft()的拉氏变换分别是Fs()和Fs()，则有1212Lft[()ft()]Fs()Fs()12122．微分定理原函数的导数的拉氏变换为dft()LsFs()f(0)dt式中f(0)——ft()在t0时的值。同样，可得ft()各阶导数的拉氏变换是2dft()2LsFs()sf(0)f'(0)2dt3dft()32LsFs()sfs()sf'(0)f''(0)3dtndft()nn1

7、n2n1LsFs()sfs()sf'(0)f(0)ndt如果上列各式中所有的初始值都为零，则各阶导数的拉氏变换为Lft['()]sFs()2Lft[''()]sFs()3Lf['''()]tsFs()nnLf[()]tsFs()图1平移函数3．积分定理原函数ft()积分的拉氏变换为(ftdt())Fs()t0Lftdt()ss当初始值为零时Fs()Lftdt()s4．时滞定理如图A-1所示，原函数ft()沿时间轴平移T，平移后的函

8、数为ftT()。该函数第3页共12页满足下述条件t0时，ft()00tT时，ftT()0则平移函数的拉氏变换为stsTLftT[()]ftTedt()eFs()0这就是时滞定理。5．初值定理如果原函数ft()的拉氏变换为Fs()，并且limsFs()存在，则时间函数ft()的初值s为lim()ftlimsFs()ts0表A-1拉普拉斯变换对照表原函数拉普拉斯函数ft()F