线性代数应用举例.ppt

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1、线性代数应用实例取自《线性代数机算与应用指导（MATLAB）版》2011.12例1平板稳态温度的计算为了计算平板形导热体的温度分布，将平板划分为许多方格，每一个节点上的稳态温度将等于其周围四个节点温度的平均值。由此可得出阶数与节点数相同的线性方程组，方程的解将取决于平板的边界条件。这个方法可以用来计算飞行器的蒙皮温度等。T1T2T3T4平板温度计算的模型整理为A=[4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4];b=[30;50;60;80];U=rref([A,b])MATLAB程序运行结果为：U=1.000000021.250001.00000026

2、.2500001.0000028.75000001.000033.7500向高阶系统扩展则要解25阶的线性方程组。运行书上的程序得温度分布如下将平板分割得愈细，求出的解就愈精确。如果把上述区域分成25个点如右例2交通流的建模对于一个有双向车流的十字路口，根据流出流入车数相等的规则，可以列出下列方程组:节点A：x1360x2260节点B：x2220x3292节点C：x3320x4357节点D：x4260x1251相应的矩阵方程为：A=[1,-1,0,0;0,1,-1,0;0,0,1,-1;-1,0,0,1];b=[-100;72;37;-9];U=rref([A,b

3、])MATLAB程序运行结果为：U=100-19010-1109001-13700000由于U的最后一行为全零，也就是说，四个方程中实际上只有三个独立。x4可以任设，因为如果有一些车沿此路口环行，对方程无影响，故方程组的解可如上表示.把上述模型扩展到多个十字路，乃至整个城市，就构成高阶的线性代数方程组。例如下面的6节点交通流图，它就要由6个方程和7个变量来描述。用行最简型方法可以知道，它的解将包括两个自由变量。其物理意义类推。向高阶系统扩展左图描述了四个城市之间的航空航线图，其中1、2、3、4表示四个城市；带箭头线段表示两个城市之间的航线。设行号表示起点城市，列号为到达城市，则定义邻接矩

4、阵A为：例3飞机航线问题转机航线的数学模型不难证明：矩阵A^2=A*A表示一个人连续坐两次航班可以到达的城市，矩阵A^3=A*A*A表示连续坐三次航班可以到达的城市：其中，第i行描述从城市i出发，可以到达各个城市的情况，若能到达第j个城市，记A(i,j)=1，否则A(i,j)=0，规定A(i,i)=0(其中i=1,2,3,4)。如第2行表示：从城市2出发可以到达城市3和城市4而不能到达城市1和2。多次转机到达的城市分析矩阵A^3的第二行，可以得出：某人从城市2出发，连续坐三次航班可以到达城市2、3和城市4，不能到达城市1，而到达城市3和城市4的方法各有两种。不难看出，转机两次以下的航线的

5、航路矩阵为At2=A+A^2+A^3程序为：A=[0,1,1,1;0,0,1,1;0,0,0,0;1,1,0,0];At2=A+A^2+A^3例4行列式的几何应用二阶行列式的几何意义是两个二维向量构成的平行四边形的面积，三阶行列式的几何意义是三个3维向量构成的平行六面体的体积。如下图所示，用MATLAB软件来实现面积和体积的运算。由向量和所构成的平行四边形的面积为行列式的绝对值。计算的MATLAB语句为：S=abs(a1*b2-a2*b1)如果给出的是三角形三个顶点坐标[a1,b1]，[a2,b2]，[a3,b3]，求该三角形面积，则有：MATLAB写成S=abs(det([a2-a1,

6、b2-b1;a3-a1,b3-b1]))平行四边形面积计算多边形可以划分为多个三角形来计算。先对三角形面积计算构成一个函数程序；这个子程序名为：cal_area3(A,B,C)A,B,C为三个顶点的二维坐标向量凸多边形面积只需多次调用这个函数程序；例如五边形ABCDE，可由S5=cal_area3(A,B,C)+cal_area3(A,C,D)+cal_area3(A,D,E)求得。也可由多边形面积子程序cal_arean(A)计算。扩展至多边形面积计算MATLAB程序functions=cal_area3(a,b,c)%a,b,c应为同形的2维行向量或列向量，%格式检验语句略去ab=b

7、-a;%计算向量ABac=c-a;%计算向量ACifsize(ab)==[1,2]%判读向量AB是否为行向量A=[ab;ac];%构造矩阵AelseA=[ab,ac];ends=abs(det(A))/2;%根据公式计算三角形面积成药1号成药2号成药3号成药4号成药5号成药6号成药7号成药A10214122038100B1201225356055C531105140D79255154735E012255336F25535535555