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1、第八节连续函数函数的连续性函数的间断点连续函数的运算与初等函数的连续性1一函数的连续性1函数的增量22连续的定义3用函数在处连续的定义可叙述为：设函数在的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数总存在正数使当时,则称在处连续.由定义可知,函数在处连续,必须满足下面三个条件,(1)在处有定义;(2)存在;(3)有不等式成立,恒4例1证由定义2知,3单侧连续5定理1函数在处连续的充要条件是在处即左连续又右连续.例2解右连续但不左连续,64连续函数与连续区间连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,在开区间上的连续函数,上每一点都连续的函数,
2、叫做在区间上连续.或者说函数在区间7二函数的间断点定义3设函数在的某个邻域或去心邻域有定义,在处不连续,若为函数的间断点.则称8例4解9例510解注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.(3)如果函数在某个去心邻域内有定义,且当时,左、右极限至少有一个不存在,则称为第二类间断点.可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点,的第一类间断点,是函数若都存在.则11例6解例7解12例8解13三连续函数的运算与初等函数的连续性定理2例如,1连续函数的和、差、积、商的连续性142反函数与复合函数的连续性定理3单调的连续函数
3、必有单调的连续反函数.例如,反三角函数在其定义域内皆连续.15定理4证以为例证明.将上两步合起来,16意义1.极限符号可以与函数符号互换;例9解例10设证明证17例11求极限解原式定理5注意定理5是定理4的特殊情况.由于幂函数在区间可以表示成而在区间上是连续的,18在上是连续的,所以在是连续的.可以证明在其定义域(与指数有关)上是连续的.3初等函数的连续性有前面的讨论可得：一切基本初等函数在定义域内是连续的.从而,根据连续函数的四则运算与复合函数连续性可知:一切初等函数在定义区间内是连续的.注意定义区间内是指包含在定义域内的区间.求初等函
4、数在连续点处的极限可以用代入法.即这里为初等函数的连续点.19例12例13解解例14求函数的间断点,并指出间断的类型.20解函数为初等函数，函数的定义域为因此为函数的间断点，由于所以是函数的可去间断点.由于所以是函数的跳跃间断点.连续的。因此在定义区间内是21定义44闭区间上连续函数的性质定理6(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.22注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;推论(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.2.若区间内有间断点,定理不一定成立.定理7(零点定理)那末在开区间内至少有函数
5、的一个零点,在闭区间上连续，设函数与异号(即且23使.即至少有一点几何解释例15证由零点定理,24例16证由零点定理,25定理8(介值定理)设函数在闭区间连续，且在这区间的端点取不同的函数值及那末，对于与之间的任意一个数在开区间内至少有一点使得上BCAab证由零点定理,)(xfy=26推论在闭区间上连续的与最小值之间的任何值.函数必取得介于最大值例17设函数在区间上连续,为上个定点,证明:在上至少存在一点使得MCmab)(xfy=27证由于在区间上连续,上取到它的最大值最小值所以在又因为所以根据定理8的推论可得,在区间至少存在一点使得28
