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1、MATLAB数学实验报告------人口统计与预测指导老师：王宁实验者：核工程93孔海宇09032064核工程93万承辉09032075核工程93张勇09032082实验日期：2010年5月28日实验目的通过对人口预测问题的分析求解，了解利用最小二乘法进行数据拟合的基本思想，熟悉寻找最佳拟合曲线的方法，掌握建立增长数学模型的思想方法。通过拟合图像，对人口进行预测。实验原理对于已知的关于自变量和因变量的一组数据（,）,(),…,(),寻找一个合适的类型的函数y=f（x）(如线性函数y=ax+b,多项式函数,指数函数等)，使它在观测点处取得的值与与观测值在某种尺度下最接近
2、，从而可用函数y=f（x）作为由观测点所反映的规律的近似表达式。数据拟合（最小二乘法）：对于已知的一组数据（），（）,设定某一类型的函数y=f（x）后,确定函数中的参数,使得在各点处的偏差的平方和最小，这种根据偏差平方和最小的条件确定参数的方法叫做最小二乘法.在最小二乘问题中函数的选取是非常重要的，但同时又比较困难。对于一般的拟合函数通常选取为一组线性无关的简单函数类（又称为拟合基函数）的线性组合（）通过最小二乘法求出待定常数（。多项式曲线拟合：如果选用的基函数为幂函数类：1，，此时拟合函数为一个m次多项式函数，根据最小二乘法拟合思想，问题归结为m+1元函数的最小值问
3、题。利用多元函数取极值的条件得到法方程组可以求得多项式系数.对于多项式曲线拟合的求解，MATLAB软件提供了相应的命令polyfit，格式：p=polyfit(x,y,m)其中x,y为已知数据点向量，m为要拟合的多项式次数，结果返回拟合的m次多项式系数，从高次到低次存放在向量p中，再用命令y0=polyval(p,x0)求得多项式在x0处的值y0。由于高次多项式曲线变化不稳定，因此拟合时多项式次数不宜过高实验内容本次实验要求根据美国前100年的人口数据数据，分别用Malthus和Logistic模型建立美国人口增长的近似曲线（设美国人口总体容量为10亿），并预测后10
4、0年我国的人口数，通过与实际数据相比较，对两种预测结果进行分析。1790年到1980年各年美国人口的统计数据如下表：美国人口统计数字（单位：百万）Malthus模型1978年，英国统计学家Malthus在进行大量的统计基础上发现了一个关于生物种群的繁殖规律，就是一个种群中个体数量的增长率与该时刻种群的个体数量成正比。按照此规律，设种群个体数量为时刻开始计时，t时刻种群个体数为，于是得到Malthus模型：求解此方程，得到生物种群繁殖的规律为：由此可见，生物种群个体数量是按照指数方式增长的。Logistic模型1838年，荷兰生物学家Verhulst做了进一步的分析后指
5、出，导致Malthus模型不符合实际情况的主要原因是Malthus模型未能考虑生物种群繁殖过程中“密度制约”因素。事实上，种群生活在一定的环境中，在资源给定的情况下，个体数量越多，每一个个体获得的资源就越少，这将抑制其生育率，增加死亡率。因而，相对增长率不是常数，而应该乘上一个“制约因子”。这个因子随的增加而减少，设为，其中k为环境的容纳量。于是Verhulst提出了生物种群增长的Logistic模型：求解方程得：这便是Logistic模型。实验问题求解：Malthus模型下的求解程序clear;clft=1790:10:1980;N=[3.95.37.29.612.
6、917.123.231.438.650.262.072.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5];plot(t,N,'k.','markersize',20);axis([1790198001000])grid;holdonpause(0.5)n=10;a=sum(t(1:n));b=sum(t(1:n).*t(1:n));c=sum(log(N(1:n)));d=sum(t(1:n).*log(N(1:n)))A=[na;ab];B=[c;d];p=inv(A)*Bx=1790:10:1980;y=exp(p(1)+p(2)
7、*x);plot(x,y,'r-','linewidth',2)Logistic模型下的求解程序clear;clft=1790:10:1980;N=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.072.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5];plot(t,N,'k.','markersize',20);axis([179019800600])grid;holdonpause(0.5)n=10;I=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.2]K
