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1、数学基础知识与典型例题复习第二章函数由广东省阳江市第一屮学周如钢编写映射映射：设非空数集A,B,若对集合A中任一元素在集合B中有唯一元素b与之对应，则称从A到B的对应为映射，记为宗A-B,/表示对应法则，b=f(a).若A中不同元素的象也不同，HB屮每一个元素都有原象与Z对应，则称从A到B的映射为一一映射。例1.若A二{1,2,3,4},B={aJ^c}y则4到〃的映射有个，B到A的映射有个；若4一{1,2,3},则A到B的…映射彳］'个例2.设集合A和集合B都是自然数集合N,映射f:AtB把集合A屮的元素〃映射到集合B屮的元素2"+〃，则在
2、映射于下，象20的原象是()(A)2(B)3(C)4(D)5函数1•函数定义：函数就是定义在非空数集A,B上的映射，此时称数集A为定义域，彖集C二g)WA}为值域。2.函数的三要素：定义域，值域，对应法则.从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。3.函数定义域的求法:列出使函数有意义的口变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域•常涉及到的依据为:①分母不为0；②偶次根式小被开方数不小于0；③对数的真数大于0,底数大于零且不等于1;④零指数幕的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.注:求函数定义域是通过解关于自变量的不
3、等式(组)来实现的。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。函数对应法则通常表现为表格，解析式和图象。例3.已知扇形的周长为20,半径为”扇形而积为S,则S二f(r}=；定义域为。例4.求函数/U)=^2",X"4的定义域.例5.若函数y=/(x)的定义域为［-1,1］,求函数丁=/(x+-)•/(%--)的定义域。44函数4•函数值域的求法：①配方法（二次或四次）；②判别式法；③反函数法（反解法）；④换元法（代数换元法）；⑤不等式法；⑥单调函数法.注:（1）求函数值域是函数屮常见问题，在初等数学范围内，直接法的途径有单调性，基木不等式及几何意
4、义，间接法的途径为函数与方程的思想，表现为△法，反函数法等，在高等数学范围内，用导数法求某些函数最值（极值）更加方便.⑵常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。①函数y=kx+b（k丸,疋R）的值域为R;②二次函数+阳"心和底R）当Ia>0时值域是严"代），当水0时值4“域是（-〜4处-沪］:③反比4a例函数y=土伙工0,x工0）的值域X为｛丿1y工0｝；④指数函数y=ax（f/>0,JLkz1,xg/?）的值域为R+;⑤对数函数y=logax@>（）,也工1,无〉（））的值域为R；⑥函数y=sinx.y=cosx（a:gR）的值域为卜
5、1,1］；函数.龙y=tam;x^lcr+—,y=cotx（x^k^keZ）的值域为R;1一兀2例6.B知g(x)=l2x,f[g(x)]=、(兀工0),求疋).例7.求函数y=2x+4y/l-x的值域.例&下列函数中值域为(0,+oo)的是()1(1(A)y=52-(B)y=-(C)y=船-1(D)y=Vl-2'1单调性函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分.对于具体的函数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，如果函数在区问（0,1）上为减函数，在区间（1,2）上为减函数，就不能说函数在（04）U（1,2）上为减函数.例9
6、.讨论函数/（x）=Vl-x2的单调性。单调性‘。TH「-一•一一15台一、姒间集的利谢等能叶不敢区子性较单不说5E1爾它丽数究调的调比③是鲜宜幌，3函叭单域单差;C上数k(州质浪象:r数义数作法质函嚼调性净抽性函定函{象实合数单的不解调合是断法图{复导>数跃在，单结应判义②质④⑤数函活现小丄〔豐:"比数5脳倉蔽14函卜减上如⑴ill1/\lfz•在B8已[g105(BL/A;O1:例{{数在例证奇偶性设则同丁在足0,设则同于7足),MJffl-a自他ms『豐Mksm满沪•腐怎八/I八•呀实兀②1•丿—八夯雯¥「丿1-1」，斤f+一)=一
7、上个定一一Lc『=1-_-一上个定X3②“一一一前件斛域d厂F上M好->数-A-)A-)A-)X)上象两-一一攵7QA-)乩喺简浪(-./V/(数蒔E:域h函/(-/(/(-■(-数辭E:域••数/(/(/(-刊赠化昵丿••函gjIJTI义M偶或/函是IJ/t义如函或关她危觀6r也叛轴也耐比例奇小M霜牒甘应>x^】=/(是=-/(為熾蹲⑴丫亦满鮒-1)7m仍丫‘輕陰不亠m冏釁同/(-0)1.<{⑵时y[h/(若{⑵时原上/(若注断定行如H尚，2」0)0)弘XX一<>数+一T-XX
8、_11J/(/IX師M-1M一224一讣。77反函数1•反函
9、数定义：只有满足唯〉y，函数y=fM才启反函数.例如：y=x2无反函数.函数y=/（x）的反函数记为X=fy）,习惯上记为2.求反函数的步骤:①将看成关于兀的方程
