变分法与最优控制.ppt

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1、第二讲变分法与最优控制主要内容2.1变分法概述2.2无约束最优化问题无约束固定端点泛函极值必要条件无约束自由端点泛函极值必要条件2.3等式约束最优化问题2.4变分法求解最优控制问题引入哈密顿函数求解拉格朗日问题求解综合型（波尔扎）问题2.1变分法概述1、泛函定义2、泛函的连续性3、泛函的极值4、线性泛函5、泛函的变分6、泛函变分的求法7、泛函变分的规则8、泛函极值的条件2.1变分法概述1、泛函定义定义：如果变量y对于某一函数类中的每一个函数x(t)，都有一个确定的值与之对应，那么就称变量y为依赖于函数x(t)的泛函，记为：y=J[x(

2、t)]。说明：由于函数的值是由自变量的选取而确定的，而泛函的值是由自变量的函数的选取而确定的，所以将泛函理解为“函数的函数”。【例2.1】是一个泛函。变量J的值是由函数x(t)的选取而确定。当时,有。当时,有。【例2.2】曲线的弧长求：平面上连接给定两点A(x0，y0)和B(x1，y1)的曲线的弧长J。A、B两点间的曲线方程为：y=f(x)A、B两点间的弧长为：泛函的上述概念，可以推广到含有几个函数的泛函的情况，例如：求一般函数极值微分法求泛函极值变分法2、泛函的连续性函数相近(零阶相近)当函数x(t)与x0(t)之差的绝对值，即∣x

3、(t)-x0(t)∣,t1tt2对于x(t)的定义域中的一切t（t1tt2）都很小时，称函数x(t)与函数x0(t)是相近的，也称为零阶相近。一阶相近当函数x(t)与x0(t)之差的绝对值以及它们的一阶导数和之差的绝对值，即t1tt2都很小，称函数x(t)与函数x0(t)是一阶相近的。注意：一阶相近的两个函数，必然是零阶相近，反之不成立。K阶相近当t1tt2都很小时，称函数x(t)与函数x0(t)是k阶相近的。函数间距离在不同的函数空间，函数间的距离定义也不同。在函数空间C[a，b]（在区间[a，b]上连续的函数的全体

4、构成的函数空间）中，通常采用下式定义距离：在函数空间Ck[a，b]（在区间[a，b]上连续且具有连续的k阶导数的函数的全体构成的函数空间）中，任意两个函数间的距离定义为：显然，式（2.1）定量地表示两个函数之间的零阶相近度，而式（2.1）定量地表示两个函数之间的k阶相近度。（2.1）（2.2）零阶距离零阶距离函数间距离在不同的函数空间，函数间的距离定义也不同。在函数空间C[a，b]（在区间[a，b]上连续的函数的全体构成的函数空间）中，通常采用下式定义距离：在函数空间Ck[a，b]（在区间[a，b]上连续且具有连续的k阶导数的函数的全

5、体构成的函数空间）中，任意两个函数间的距离定义为：（2.1）零阶距离零阶距离函数间距离在不同的函数空间，函数间的距离定义也不同。在函数空间C[a，b]（在区间[a，b]上连续的函数的全体构成的函数空间）中，通常采用下式定义距离：在函数空间Ck[a，b]（在区间[a，b]上连续且具有连续的k阶导数的函数的全体构成的函数空间）中，任意两个函数间的距离定义为：函数间距离在不同的函数空间，函数间的距离定义也不同。在函数空间C[a，b]（在区间[a，b]上连续的函数的全体构成的函数空间）中，通常采用下式定义距离：在函数空间Ck[a，b]（在区间

6、[a，b]上连续且具有连续的k阶导数的函数的全体构成的函数空间）中，任意两个函数间的距离定义为：函数间距离在不同的函数空间，函数间的距离定义也不同。在函数空间C[a，b]（在区间[a，b]上连续的函数的全体构成的函数空间）中，通常采用下式定义距离：在函数空间Ck[a，b]（在区间[a，b]上连续且具有连续的k阶导数的函数的全体构成的函数空间）中，任意两个函数间的距离定义为：函数间距离在不同的函数空间，函数间的距离定义也不同。在函数空间C[a，b]（在区间[a，b]上连续的函数的全体构成的函数空间）中，通常采用下式定义距离：在函数空间C

7、k[a，b]（在区间[a，b]上连续且具有连续的k阶导数的函数的全体构成的函数空间）中，任意两个函数间的距离定义为：函数间距离在不同的函数空间，函数间的距离定义也不同。在函数空间C[a，b]（在区间[a，b]上连续的函数的全体构成的函数空间）中，通常采用下式定义距离：在函数空间Ck[a，b]（在区间[a，b]上连续且具有连续的k阶导数的函数的全体构成的函数空间）中，任意两个函数间的距离定义为：函数间距离在不同的函数空间，函数间的距离定义也不同。在函数空间C[a，b]（在区间[a，b]上连续的函数的全体构成的函数空间）中，通常采用下式定

8、义距离：在函数空间Ck[a，b]（在区间[a，b]上连续且具有连续的k阶导数的函数的全体构成的函数空间）中，任意两个函数间的距离定义为：k阶距离k阶距离k阶距离k阶距离k阶距离k阶距离k阶距离k阶距离k阶距离k阶距离k阶