泰勒公式与麦克劳林公式推导证明.doc

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1、泰勒公式及麦克劳林公式推导证明麦克劳林公式 是泰勒公式（在x。=0下）的一种特殊形式。若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和：f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!·x^2,+f'''(0)/3!·x^3+……+f(n)(0)/n!·x^n+Rn其中Rn是公式的余项，可以是如下：1.佩亚诺(Peano)余项：Rn(x)=o(x^n)2.尔希-罗什(Schlomilch-Roche)余项：Rn(x)=f(n+1)(θx)(1-θ)^(n+1-p)x^(n+1)/(n!p)[f(n+1)是f的n+

2、1阶导数，θ∈(0,1)]3.拉格朗日(Lagrange)余项：Rn(x)=f(n+1)(θx)x^(n+1)/(n+1)![f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)]4.柯西(Cauchy)余项：Rn(x)=f(n+1)(θx)(1-θ)^nx^(n+1)/n![f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)]5.积分余项：Rn(x)=[f(n+1)(t)(x-t)^n在a到x上的积分]/n![f(n+1)是f的n+1阶导数]泰勒公式在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这

3、些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。泰勒公式（Taylor'sformula）带Peano余项的Taylor公式（Maclaurin公式）：可以反复利用L'Hospital法则来推导，f(x)=f(x0)+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+…+f^(n)(x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n)泰勒中值定理（带拉格郎日余项的泰勒公式）：若函数f(x）在含有x的开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于(x-x0)多项式和一

4、个余项的和：f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0）+f''(x0)/2!*(x-x0)^2,+f'''(x0)/3!*(x-x0)^3+……+f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n+Rn(x)其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)！*(x-x0)^(n+1)，这里ξ在x和x0之间，该余项称为拉格朗日型的余项。（注：f(n)(x0)是f(x0)的n阶导数，不是f(n)与x0的相乘。）使用Taylor公式的条件是：f(x)n阶可导。其中o((x-x0)^n）表示比无穷小(x-x0)^n更高阶的无穷小。Taylor公式最典型的应用就是求任意函数的近似值。Taylor公式

5、还可以求等价无穷小，证明不等式，求极限等推导证明我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.）Δx），其中误差α是在limΔx→0即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n来近似地表示函数f(x）且要写出其误差f(x)-P(x）的具体表达式。设函数P(x）满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(

6、x.)=f''(x.），……，P(n)(x.)=f(n)(x.），于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。显然，P(x.)=A0，所以A0=f(x.）；P'(x.)=A1,A1=f'(x.）；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2！……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n！。至此，多项的各项系数都已求出，得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n.接下来就要求误差的具体表达式了。设Rn(x)=f(x)-P(x），于是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)

7、=0。所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0。根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1）=（Rn(x)-Rn(x.））/（（x-x.)^(n+1）-0）=Rn'（ξ1）/(n+1）（ξ1-x.)^n（注：（x.-x.)^(n+1）=0），这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得（Rn'（ξ1）-Rn'(x.））/（（n+1）（ξ1-x.)^n-0）=Rn''（ξ2）/n(n+1）（ξ2-