数值分析19切比雪夫多项式.ppt

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1、函数逼近与希尔伯特矩阵切比雪夫多项式勒让德多项式正交多项式的应用《数值分析》19函数逼近中的伯恩斯坦多项式，f(x)∈C[0，1]Bezier曲线P0P1P2P32/18引例.求二次多项式P(x)=a0+a1x+a2x2使连续函数的最佳平方逼近已知f(x)∈C[0,1],求多项式P(x)=a0+a1x+a2x2+……+anxn使得令3/18系数矩阵被称为Hilbert矩阵令记4/18定义6.3设f(x),g(x)∈C[a,b],ρ(x)是区间[a,b]上的权函数,若等式成立,则称f(x),g(x)在[a,b]上带权ρ(x)正交.当ρ(x)=1时,简称正交。例

2、1验证0(x)=1,1(x)=x在[–1,1]上正交,并求二次多项式2(x)使之与0(x),1(x)正交解:4/18设2(x)=x2+a21x+a22所以,a22=-1/3a21=02/3+2a22=02a21/3=05/18切比雪夫多项式:T0(x)=1,T1(x)=cos=x,T2(x)=cos2······Tn(x)=cos(n),·········由cos(n+1)=2coscos(n)–cos(n-1)得Tn+1(x)=2xTn(x)–Tn-1(x)(n≥1)所以,T0(x)=1,T1(x)=x,T2(x)=2x2–1,·

3、··········1.递推公式:7/18T0(x)=1,T1(x)=x,T2(x)=2x2–1T3(x)=4x3–3x,T4(x)=8x4–8x2+1前五个切比雪夫多项式图形8/18(m≠n)所以,切比雪夫多项式在[–1,1]上带权正交2.切比雪夫多项式的正交性9/183.切比雪夫多项式零点n阶Chebyshev多项式:Tn=cos(n),或,Tn(x)=cos(narccosx)(k=0,1,···,n-1)取T1=cos=x即(k=0,1,···,n-1)10/184.切比雪夫多项式的极性Tn(x)的最高次项xn的系数为2n–1所有最高次项系数为1

4、的n次多项式中,Pn(x)=21–nTn(x)则例如tk=–1+0.2k(k=0,1,2,···,10)(k=0,1,2,···,10)11/18令,P11(x)=(x–x0)(x–x1)···(x–x10)Q11(x)=(x–t0)(x–t1)···(x–t10)则有P11(x)Q11(x)12/18勒让德(Legendre)多项式1.表达式P0(x)=1,P1(x)=x(n≥1)2.正交性13/183.递推式4.零点分布Pn(x)的n个零点,落入区间[–1,1]中P2(x)的两个零点:P3(x)的三个零点:14/18用正交多项式作最佳平方逼近设P0(x)

5、,P1(x),···,Pn(x)为区间[a,b]上的正交多项式,即(k≠j,k,j=0,1,···,n)求P(x)=a0P0(x)+a1P1(x)+···+anPn(x)使15/18(k=0,1,2,···,n)令记(Pk,f)=由于则有(k=0,1,2,···,n)f(x)的平方逼近16/18例6在区间[1/4,1]上求函数f(x)=的一次多项式最佳平方逼近解:令P0(x)=1,P1(x)=x–5/8,则(P0,P0)=3/4,(P1,P1)=9/256,(P0,f)=7/12,(P1,f)=11/480所以,广义付立叶级数部分和17/18最佳平方逼近:1

6、8/18