高考数学选修知识讲解 组 合（提高）.doc

《高考数学选修知识讲解 组 合（提高）.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、组合编稿：赵雷审稿：李霞【学习目标】1．理解组合的概念．2．能利用计数原理推导组合数公式．3．能解决简单的实际问题．4．理解组合与排列之间的联系与区别．【要点梳理】要点一：组合1.定义：一般地，从个不同元素中取出（）个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．要点诠释：①从排列与组合的定义可知，一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关．排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它们的根本区别．②如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合.因此组合问题的本质是分组问题，它

2、主要涉及元素被取到或未被取到.要点二：组合数及其公式1.组合数的定义：从个不同元素中取出（）个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．记作．要点诠释：“组合”与“组合数”是两个不同的概念：一个组合是指“从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数”，它是一个数．例如，从3个不同元素a，b，c中取出2个元素的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫做一个组合，而数字3就是组合数．2．组合数的公式及推导求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以按以下两步来考虑：第

3、一步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数；第二步，求每一个组合中m个元素的全排列数．根据分步计数原理，得到．因此这里n，m∈N+，且m≤n，这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：．要点诠释：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题。3.组合数公式：(1)（、，且）(2)（、，且）要点诠释：上面第一个公式一般用于计算，但当数值、较大时，利用第二个式子计算组合数较为方便，在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用第二个公式．要点三：组合数的性质性质1：（、，且）性质2：（、

4、，且）要点诠释：规定：.要点四、纯组合问题常见题型（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．如：现从5位男同学、4位女同学中选出5名代表，若男甲、女A都必须当选，有多少种不同的选法?由于男甲、女A必须当选，只需从剩下7人中任选3人即可满足题目的要求，故有种不同的选法．（2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．如（1）中，将问题

5、改为至少有一名女同学当选，有多少种不同的选法?则在全部的选法中，排除全部男生当选的情况即可，故有种不同的选法．（3）分堆问题①平均分堆，其分法数为：．例如将6本不同的书平均分成三份，每份两本，求不同的分法数．依据上述公式，其分法为（种）．②分堆但不平均，其分法数为．例如，将12本不同的书分成五份，分别为2本、2本、2本、3本、3本，求不同的分法数．依据上述公式，分到指定位置数为．其中两本的有三堆，故除以3！；3本的有两堆，要除以2！，故分法数为．（4）定序问题．对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元

6、素进行排列．例：5人站成一排，如果甲必须站在乙的左边，则不同的排法有多少种？法一:5人不加限制的排列方法有种，“甲在乙的左边”和“甲在乙的右边”的排法是相对的，所以甲必须在乙的左边的排法有（种）．法二:第一步，在5个位置中选2个位置给甲、乙二人有种选法；第二步，剩下三个位置由剩下三人全排，有种排法，共有（种）；法三:从5个位置选3个位置由除甲、乙两人之外的三人排列有种（剩下两个位置，甲、乙随之确定）．（5）指标问题用“隔板法”：如，将10个保送生预选指标分配给某重点中学高三年级六个班，每班至少一名，共有多少种分配方案？将10个名额并成一排，名额之间有9个空，用5块隔板插入9个空，就可

7、将10个名额分为6部分，每一种插法就对应一种分配法，故有种方案．注意：隔板法与插空法是不同的，要予以“区分”．隔板法只适用于相同元素的分配问题．要点五、组合组合的综合应用处理排列、组合综合题时，应遵循四大原则：（1）先特殊后一般的原则（1）先取后排的原则（2）先分类后分步的原则（3）正难则反、等价转化原则．【典型例题】类型一、组合概念及组合数公式例1．下面的问题是排列问题？还是组合问题？并计算结果。（1）从1，3，5，9中任取两个数相加，可以得到多少个不同