2019届高考数学专题10系列4选讲第2讲不等式选讲真题押题精练文.docx

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1、第2讲　不等式选讲1.(2017·高考全国卷Ⅱ)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；(2)a＋b≤2.证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋(a＋b)＝2＋，所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.2．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝

2、x＋1

3、＋

4、x－1

5、.(1)当a＝1时，求不等式f(x

6、)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．解析：(1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于x2－x＋

7、x＋1

8、＋

9、x－1

10、－4≤0.　①当x<－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；当x>1时，①式化为x2＋x－4≤0，从而1

11、与f(1)之一，所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1.所以a的取值范围为[－1,1]．3．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知f(x)＝

12、x＋1

13、－

14、ax－1

15、.(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)＞x成立，求a的取值范围．解析：(1)当a＝1时，f(x)＝

16、x＋1

17、－

18、x－1

19、，即f(x)＝故不等式f(x)＞1的解集为.(2)当x∈(0,1)时

20、x＋1

21、－

22、ax－1

23、＞x成立等价于当x∈(0,1)时

24、ax－1

25、＜1成立．若a≤0，则当x∈(0,1)时

26、ax－1

27、≥1；若a＞0，则

28、ax－1

29、＜1的解

30、集为，所以≥1，故0＜a≤2.综上，a的取值范围为(0,2]．1.已知函数f(x)＝

31、x＋1

32、＋

33、x－2

34、.(1)求函数f(x)的最小值k；(2)在(1)的结论下，若正实数a，b满足＋＝，求证：＋≥2.解析：(1)因为

35、x＋1

36、＋

37、x－2

38、≥

39、(x＋1)－(x－2)

40、＝3，所以函数f(x)的最小值为3.(2)证明：由(1)知，＋＝，根据柯西不等式得，(＋)[12＋()2]≥(×1＋×)2＝3，所以＋≥2.2．已知函数f(x)＝

41、2x＋a

42、＋2a，a∈R.(1)若对于任意x∈R，f(x)都满足f(x)＝f(3－x)，求a的值；(2)若存在x∈R，使得f(x

43、)≤－

44、2x－1

45、＋a成立，求实数a的取值范围．解析：(1)因为f(x)＝f(3－x)，x∈R，所以f(x)的图象关于x＝对称．又f(x)＝2

46、x＋

47、＋2a的图象关于x＝－对称，所以－＝，所以a＝－3.(2)f(x)≤－

48、2x－1

49、＋a等价于

50、2x＋a

51、＋

52、2x－1

53、＋a≤0.设g(x)＝

54、2x＋a

55、＋

56、2x－1

57、＋a，则g(x)min＝

58、(2x＋a)－(2x－1)

59、＋a＝

60、a＋1

61、＋a.由题意g(x)min≤0，即

62、a＋1

63、＋a≤0.当a≥－1时，a＋1＋a≤0，a≤－，所以－1≤a≤－；当a<－1时，－(a＋1)＋a≤0，－1≤0，所以a<－1，综上

64、，a≤－.