函数的凹凸性与拐点.doc

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1、高等数学I教案标题：函数的凹凸性与拐点教学目标：会判断曲线的凹凸性及拐点教学重点及难点：曲线的凹凸性与拐点教学内容（教学时数：2）第14讲函数的凹凸性与拐点一、复习旧知1、函数的单调性的判断2、函数的极值的求法；3、函数的最值的求法二、内容精讲为了进一步研究函数的特性并正确地作出函数的图形，需要研究曲线的弯曲方向。在几何上，曲线的弯曲方向是用曲线的“凹凸性”来描述的。1、曲线的凹凸性从图1（a），（b）直观上可以观察到：oxyAB（a）BAoxy（b）图1如果在某区间内的连续且光滑曲线弧总是位于其任一点切线的上方，则称此曲线弧在该区间内是凹的；如果在某区间内

2、的曲线弧总是位于其任一点切线的下方，则称此曲线弧在该区间内是凸的，相应的区间分别称为凹区间与凸区间。2、曲线的凹凸性的定义定义1设在区间上连续，如果对于上任意的两点，恒有那么称在上的图形是（向上）凹的（凹弧）；如果恒有，（a）（b）图2那么称在上的图形是（向上）凸的（凸弧）。从图1还可以看到如下事实：对于凹的曲线弧，其切线的斜率随着的增大而增大，即单调增加；对于凸的曲线弧，其切线的斜率随着的增大而减少，即单调减少.而函数的单调性又可用它的导数，即的二阶导数的符号来判定，故曲线的凹凸性与的符号有关。3、曲线凹凸性的判定定理1若在上连续，内具有一阶和二阶导数，那

3、么(1)若在内，那么在上的图形是凹的；(2)若在内，那么在上的图形是凸的。例1.判定曲线的凹凸性.解函数的定义域，而,,因此曲线在内是凸的.例2.讨论曲线的凹凸区间.解函数的定义域为，，。显然，当时，；当时，.因此为曲线的凸区间，为曲线的凹区间。4、拐点的定义定义2连续曲线上的凹弧和凸弧的分界点成为这条曲线的拐点。如，在内为凹的，在内为凸的，则即为其拐点。注：拐点是二阶导数发生变号的点，因此拐点通常出现在二阶导数为0的点以及二阶导数不存在的点5、确定的凹凸区间和拐点的步骤如下：(1)确定函数的定义域；(2)求出二阶导；(3)求使二阶导数为0的点和使二阶导数不

4、存在的点；(4)判断或列表判断，根据二阶导数的符号确定出曲线凹凸区间和拐点。例3.求曲线的凹凸区间和拐点.解：，，令，得.当时，，曲线在内为凸的；当时，，曲线在内为凹的.点是曲线的拐点.例4.讨论曲线的凹凸性及拐点.解:函数在定义域内连续.，当时，都不存在；当时，.故可列表如下：0-0+不存在+凸拐点凹非拐点凹例5.求曲线的拐点.解定义域为，，因为令时，方程无解.而当时，；当时，，即曲线在区间内是凸的，在区间内是凹的，又曲线在点处是连续的，所以点是曲线的拐点。练习：求下列函数的凹凸区间和拐点。（1）（2）（3）（4）（5）（6）