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1、椭圆的定义与性质1．椭圆的定义(1)第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于
2、F1F2
3、)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距．(2)第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e(0b>0)＋＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(
4、a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(0，－b)，B2(0，b)B1(－b,0)，B2(b,0)焦点F1(－c,0)F2(c,0)F1(0，－c)F2(0，c)准线l1：x＝－l2：x＝l1：y＝－l2：y＝轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b焦距F1F2＝2c离心率e＝，且e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)动点P到两定点A(－2,0)，B(2,0)的距离之和为4，则点P的轨迹是椭圆．( )(2
5、)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．( )(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( )(4)已知点F为平面内的一个定点，直线l为平面内的一条定直线．设d为平面内一动点P到定直线l的距离，若d＝
6、PF
7、，则点P的轨迹为椭圆．( )[解析] (1)错误，
8、PA
9、＋
10、PB
11、＝
12、AB
13、＝4，点P的轨迹为线段AB；(2)正确，根据椭圆的第一定义知PF1＋PF2＝2a，F1F2＝2c，故△PF1F2的周长为2a＋2c；(3)错误，椭圆的离心率越大，椭圆越扁．(4)正
14、确，根据椭圆的第二定义．[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√2．(教材习题改编)焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m＝________.[解析] 由题设知a2＝5，b2＝m，c2＝5－m，e2＝＝＝()2＝，∴5－m＝2，∴m＝3.[答案] 33．椭圆的焦点坐标为(0，－6)，(0,6)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为20，则椭圆的标准方程为_____．[解析] 椭圆的焦点在y轴上，且c＝6,2a＝20，∴a＝10，b2＝a2－c2＝64，故椭圆方程为＋＝1.[答案] ＋＝14．(2014·无锡质检)椭圆＋＝1的左焦
15、点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________．[解析] 直线x＝m过右焦点(1,0)时，△FAB的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a＝8，此时，
16、AB
17、＝2×＝＝3，∴S△FAB＝×2×3＝3.[答案] 35．(2014·江西高考)过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则∴＋＝0，∴＝－·.∵＝－，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴－
18、＝－，∴a2＝2b2.又∵b2＝a2－c2，∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，∴＝.[答案] 考向1 椭圆的定义与标准方程【典例1】 (1)(2014·全国大纲卷改编)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为________．(2)(2014·苏州质检)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x＝－4，则该椭圆的方程为________．[解析] (1)由条件知△AF1B的周长＝4a＝4，∴a＝.∵e＝＝，c2＋b2＝a2，∴c＝1，b
19、＝.∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)∵椭圆的一条准线为x＝－4，∴焦点在x轴上且＝4，又2c＝4，∴c＝2，∴a2＝8，b2＝4，∴该椭圆方程为＋＝1.[答案] (1)＋＝1 (2)＋＝1,【规律方法】 (1)一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决．(2)求椭圆的标准方程有两种方法①定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋
20、By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．【变式训练1】 (1)(2013·广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是________．(2)(2014·苏州质检)已知椭圆的方程是＋
