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1、随机变量及其分布列一、离散型随机变量及其分布列1．离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，，……表示。所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。2．离散型随机变量的分布列及性质（1）一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为X取每一个值的概率，则表X…………P…………称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式表示X的分布列。（2）离散型随机变量的分布列的性质①≥0（）；②。注：求离散型随机变量的分布列时，首先确定随机变量的极值，求出离散型随机变量的每一个值对应的概率，最后列成表格。3．常见
2、离散型随机变量的分布列（1）两点分布若随机变量X服从两点分布，即其分布列为，其中称为成功概率。（2）超几何分布在含有M件次品的N件新产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X=k}发生的概率为其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈,称分布列X01……mP为超几何分布列。二、二项分布及其应用1．条件概率及其性质（1）条件概率的定义设A、B为两个事件，且P（A）＞0，称P（B
3、A）=P（AB）/P（A）为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。注：条件概率不一定等于非条件概率。若A，B相互独立，则P（B
4、A）=P（B）。（2）条件概率的性质①0
5、≤P（B
6、A）≤1；②如果B、C是两个互斥事件，则P（B∪C
7、A）=P（B
8、A）+P（C
9、A）。2．事件的相互独立性设A、B为两个事件，如果P（AB）=P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立。3．独立重复试验与二项分布（1）独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，即若用表示第次试验结果，则（2）二项分布在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P（X=k）=，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n,p），并称p为成功概率。三、离散型随机变量的均
10、值与方差1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为X…………P…………（1）均值称EX=++……++……+为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。（2）方差称DX=为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差，记作。注：随机变量的均值、方差是一个常数，样本均值、方差是一个随机变量，随观测次数的增加或样本容量的增加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值与方差。2．均值与方差的性质（1）E(aX+b)=aEX+b(2)D(aX+b)=a2DX.(a,b为常数)3．两点分布与二
11、项分布的均值、方差（1）若X服从两点分布，则EX=p，DX=p(1-p).（2）若X～B（n,p），则EX=np.DX=np(1-p).例1：一袋装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3球，以X表示取出球的最大号码，求X的分布列。例2：设离散型随机变量X的分布列为X01234P0．20．10．10．3m求：（1）2X+1的分布列；（2）
12、X-1
13、的分布列。例3：某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核（1）求从甲、
14、乙两组各抽取的人数；（2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（3）记表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望例4：1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球,问从2号箱取出红球的概率是多少?例5：甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立.求：（Ⅰ）打满3局比赛还未停止的
15、概率；（Ⅱ）比赛停止时已打局数的分别列与期望E.例6：某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力.每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%,参加过计算机培训的有75%,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响.(1)任选1名下岗人员,求该人参加过培训的概率;(2)任选3名下岗人员,记为3人中参加过培训的人数,求的分布列.例7：甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分布是和。假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响。(1
