空间几何的外接球和内切球问题.pdf

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1、空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）2222222方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)abc，即2Rabc，求出R例1（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（C）A．16B．20C．24D．32（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是922222解：（1）Vah16，a2，4Raah441624，S24，选C；22（2）4R

2、3339，S4R9（3）在正三棱锥SABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AMMN,若侧棱SA23,则正三棱锥SABC外接球的表面积是。36解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：如图（3）-1，取AB,BC的中点D,E，连接AE,CD，AE,CD交于H，连接SH，则H是底面正三角形ABC的中心，SH平面ABC，SHAB，ACBC，ADBD，CDAB，AB平面SCD，ABSC，同理：BCSA，ACSB，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（

3、3）-2，AMMN，SB//MN，AMSB，ACSB，SB平面SAC，SBSA，SBSC，SBSA，BCSA，SA平面SBC，SASC，故三棱锥SABC的三棱条侧棱两两互相垂直，22222(2R)(23)(23)(23)36，即4R36，正三棱锥SABC外接球的表面积是361（4）在四面体SABC中，SA平面ABC，BAC120,SAAC2,AB1,则该四面体的外接1040球的表面积为（D）A.11B.7C.D.33（5）

4、如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为222解析：（4）在ABC中，BCACAB2ABBCcos1207，BC727BC7，ABC的外接球直径为2r，sinBAC3322222724040(2R)(2r)SA()4，S，选D333（5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为a,b,c（a,b,cR），则

5、ab1222222bc8，abc24，a3，b4，c2，(2R)abc29，S4R29，ac62222233（6）(2R)abc3，R，R42434333VR，3382类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1．题设：如图5，PA平面ABC解题步骤：第一步：将ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，则PD必过球心O；第二步：O为ABC的外心，所以OO平面ABC，算出小圆O的半111径ODr

6、（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得1abc12r），OOPA；1sinAsinBsinC2222222第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2R)PA(2r)2RPA(2r)；22222②RrOORrOO112．题设：如图6，7，8，P的射影是ABC的外心三棱锥PABC的三条侧棱相等三棱锥PABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心O的位置，取ABC的外心O，则P,O,O三点共线；11第二步：先算出小圆O的

7、半径AOr，再算出棱锥的高POh（也是圆锥的高）；111222222第三步：勾股定理：OAOAOOR(hR)r，解出R11方法二：小圆直径参与构造大圆。例2一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为()C16A．3B．2C．D．以上都不对32222解：选C，(3R)1R,323RR1R,423R0,2216R,S4R333类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）1．题设：如图9-1，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径）第

8、一步：易知球心O必是PAC的外心，即PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC2r；abc第二步：在PAC中，可根据正弦定理2R，求出RsinAsinBsinC2．如图9-2，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径）22222222OCOCOORrOOAC2ROO11113．如图9-3，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径），且P的射影是ABC的外心三棱锥PABC的三条侧棱相等三