分数阶常微分方程的特征根解法.pdf

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1、2014年第5期闽江学院学报No．52014(总第145期)JOURNALOFMINJIANGUNIVERSITYGeneralSerialNo．145分数阶常微分方程的特征根解法郑达艺(福建教育学院理科研修部，福建福州350025)摘要：目前对于分数阶微分方程的解析解的求法就较为单一，主要采用拉普拉斯变换及其逆变换来求．对于Caputo型分数阶导数积分下限a=一时，指数函数，(t)=e和常数函数t)=C的分数阶导数与整数阶导数相类似的．部分分数阶常微分方程也可以用特征根的方法求得通解，但分数阶常微分方程与一般微分方程的通解中相互独立的任意常数

2、个数却有很多不同．关键词：分数阶导数；Caputo型分数阶导数；特征根中图分类号：O175．11文献标识码：A文章编号：1009—7821(2014)05—0008一O5ThecharacteristicrootsolutionofthefractionalorderordinarydiferentialequationZHENGDa—yi(DepartmentofScienceResearch，FujianInstituteofEducation，Fuzhou，Fujian350025，China)Abstract：Atpresent，met

3、hodsforanalyticsolutiontofractionaldifferentialequationsarerelativelysimple，mainlyLaplacetransformanditsinversetransform．ForCaputo-typedfractionalorderderiva—tiveintegrallowerlimita=一∞．fractionalderivativeandintegralderivativeofexponentialfunctiont)=eandconstantfunctionf(t)=

4、Cisquitesimilar．Generalsolutionsofsomefractionalorderor-dinarydiferentialequationcanbesolvedbymeansofcharacteristicroot，butthenumberofmutuallyindependentarbitraryconstantsingeneralsolutionsoffractionalorderordinarydifferentialequationandgeneralordinarydifferentialequationare

5、verydifferent．Keywords：fractionalderivative；Caputo—typedfractionalorderderivative；characteristicroot早在300多年前，在牛顿和莱布尼茨发明微积分时，就有数学家向莱布尼茨提出分数阶导数问题，近年来分数阶微积分在高能物理、反常扩散、复杂黏弹性材料力学本构关系、系统控制、流变学、地球物理、生物医学工程、经济学等诸多领域的建模有非常成功的应用，凸显了其独特优势和不可替代性，其理论和应用研究在国际上已成为一个热点I2J．但分数阶微积分的数学基础还很不完善，

6、例如，分数阶微分方程的解析解的求法就较为单一，主要采用拉普拉斯变换及其逆变换来求，而这种方法能够求解的微分方程类型也较有限．在这里将对分数阶常微分方程的解法进行研究，对于整数阶常微分方程，特征根方法是它的一种典型解法，对于Caputo型分数阶导数的积分下限取a=一∞，可以得到指数函数t)=e的分数阶导数跟整数阶导数是相类似的，这样对一些类型的分数阶常微分方程的解也可用特征根方法来求．收稿日期：2013—11—19基金项目：福建省教育厅科技项目(JA13352)作者简介：郑达艺(1975一)，男，福建漳浦人，福建教育学院理科研修部讲师，硕士·8·

7、箜塑郑达艺：分数阶常微分方程的特征根解法1预备知识当前，分数阶导数的定义主要有Grtinwald．Letnikov型的分数阶导数，Riemann—LiouviUe型的分数阶导数，Caputo型分数阶导数，Weyl型分数阶导数，Riesz型分数阶导数．其中Caputo型分数阶导数应用最为广泛，它是由意大利地球物理学家Caputo在20世纪60年代末提出的弱奇异的分数阶微分定义．其定义如下：：D)=⋯其中一1<<>当几时，有liclr'~txr／ln～、imn币』【n一J⋯dT”—【+而而)，卜(下1=(口)十(r)打=／o>()．因为Caputo

8、型定义的分数阶导数在积分变换中需满足的初始条件以整数阶微积分的形式给出，具有较强的物理背景，因此在实际问题建模过程中广泛应用，在这里采用Caputo型