线性代数-线性空间及线性相关性课件.pdf

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1、第四章n元向量空间•n元向量组的线性相关性；•向量组的秩；•n元向量空间；•线性方程组解的结构；n•欧氏空间.第4.1节n元向量组的线性相关性n元向量的定义及线性运算在第一章已经给出，本节进一步研究一个向量组的线性相关性。这里我们先只讨论含有有限个向量的向量组，以后再把讨论的结果推广到含有无限个向量的向量组。一、线性组合与线性表示n定义4.1.1设Ⅰ:,,,12s是中的一个向量组，kk,,,k是数域中的数，称向量12skkk1122ss为向量组Ⅰ的一个线性组合，

2、kk,,,k为组合系数.12s如果给定的向量能表为向量组Ⅰ的线性组合，即存在数域中的数kk,,,k，使12skkk1122ss则称可由向量组Ⅰ线性表示，称组合系数为表示系数.例4124.1.2零向量是任意向量组的线性组合，这是因为0000.12s例1向量组12,,,s中的任意一个向量可由该向量组的线性表示,这是因为00100,ii11ii1s(1is,2,,).例2已

3、知向量组TT[1,2,3],[1,2,3],12TT[024][0,2,4],[345][3,4,5],34试判断向量是否可由,,线性表示？4123若能，表示式是否唯一？解法1观察可知3,所以可以表示；413又2,所以表法不唯一.4123解法2设xxx,4112233考察该方程组解的情况.解法2设xxx,即411223331104222xxx,123533

4、43xx12xx123,4222x123xx或2224x123xx,5334xxx334xxx5.123123110311031103A222400220011334500440000rr()()23,AA方程组有无穷多解，通解为xk31xkk,2x13所以

5、(()kkk3),,4123即向量可由,,线性表示,但表示式不唯一.4123一般地：aaab11121s1aaab设；21,,22,2s2n.12saaabnn12nsn则可由,,,线性表示12s存在数xx,，，，x使得xxx12s1122ss即可由,,,线性表示12sns线性方程组xx

6、x，1122ssaxaxaxb,1111221ss1axaxaxb,2112222ss2即,axaxaxbnn1122nssn有解.二、向量组的线性相关性（一）、线性相关与线性无关的概念n定义设4.1.3,,,(s1)是中的向量组,12s如果存在不为全零的数kk,,,k，使得12skkk0，1122ss则称向量组Ⅰ:12,,,s线性相关；否则称Ⅰ线性无关.例1判断向量组的线性相关性.2（1）中向量组

7、=[1[1，0],=[0，[01],=[1[1，3]12331观察可知32，3123故该向量组线性相关.n（2）在中，称向量T[1,0,,0],1T[0,1,,0],2T[0,0,,1],n为n元基本向量.n在中，n元基本向量组,,,线性无关.12n线性相关和线性无关与线性方程组的联系aa1112a1maaa设21,,22,2mn.设12m

8、aaann12nm则,,,线性相关（无关）12mnm齐次线性方程组xxx0，1122mm有非零解axaxax0,1111221mmaxaxax0,2112222mm即有非零解（仅有零解）.,axaxax0nn1122nmm（二）、部分组的线性相关性与整体的线性相关性n设,,,(()s1)是中的向量组,由其中的12s向量组成的向