反例在“数学分析”教学中的应用.pdf

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1、总第294期敏爻f‘Tota1．2942014年10月TheScienceEducationArticleCollectsOctober2014(C)反例在“数学分析”教学中的应用潘维维(南京师范大学泰州学院数学科学与应用学院江苏·泰州225300)中图分类号：G642．41文献标识码：A文章编号：1672—7894(2014)30—0047—02摘要在数学分析的学习中恰当地使用反例能很好地帮具有一定的理论意义。助学生正确理解和掌握相关数学概念及定理。本文通过列1极限理论中的反例举恰当的例子，构造反例深入探

2、讨与研究了“数学分析”教命题1：数列％)收敛可以证明％)有界，但{％)有界材中关于极限、导数、微分和连续性等相关问题。数学分析不可以证明{)收敛。的反例研究对于数学分析教学具有较好的指导意义。例1：数列{(一1))有界，但它并不收敛，但若数列}关键词反例极限导数与微分连续性无界，则{)发散。TheApplicationofCounterexamplesintheTeachingof命题2：数列】收敛不一定单调，数列％)单调不一”MathematicalAnalysis”／／PanWeiwei定收敛，有界的单

3、调数列必有极限。AbstractAproperuseofcounterexamplesinmathematical例2：：2n单调元界，％)发散，收敛，但不单analysislearningcanefectivelyhelpstudentscorrectlyunder-调。standandgrasprelatedmathematicalconceptsandprinciples．命题3：V正整数P，lim()：0，不能断定)收敛。Throughillustratingproperexamplesandcon

4、structingcoun—terexamples，thispaperfurtherexploredandstudiedrelatedis-例3：Xn-、／发散，但suesinthetextbookof”MathematicalAnalysis”，suchaslimit，derivative，diferentialandcontinuity．Theresearchoncoun-lim()=，(一x／~-)=l，ira【IV，TTV，Jfterexamplesinmathematicalanalysisiso

5、fpositiveguidingsig-=0。nificancefortheteachingofmathematicalanalysis．命题4：)在a，b)上有界可以证明)在(o，b)上每Keywordscounterexamples；limit；derivativeanddiferential；一点都局部有界，但是，()在a，b)上每一点局部有界不能continuity证明，()在a，b)上有界。例4．fl)：，(O，1)。V。∈(0，1)，li—1_：，由函数学分析是大学数学系中一门重要的专业基础课，

6、它不仅是中学数学的延拓，也是数学专业的学生学习后续课数极限的局部有界性定理可知厂()在点‰处局部有界，但是程的基础，是学习实变函数、复变函数、常微分方程、概率论)在(0，1)上是无界的。等必不可少的阶梯，也为深入理解大学数学打下必要的基命题5：在保不等式性中，在某邻域()内有)础，可以加强自己的分析基础、增强解决问题的能力。很多()，不一定有limf(x)0，于是x<2x，但lim=lim2x=0。味，导致学习兴趣的

7、缺乏。数学是由大量证明与反例构成的，当学生能够自己有意识地构造反例，就可以培养学生对2导数与微分理论中的反例数学学习的兴趣与逆向思维，同时提高学生的分析与解决命题6如果函数)，)在点。处可导，则，()在点。问题的能力，从而达到理想的教学质量。处一定连续，函数)在点。处连续，却不一定在点XO处本文就数学分析中极限、导数、微分和连续性中的一些可导。典型的命题，通过构造合理恰当的反例，加深学生对数列与例6：y=fl)=lI，在xo=0处连续，却不可导。函数的极限、函数的导数与微分、函数连续性等方面的研究命题7：若

8、／在点。可导，l／l在点‰不一定可导。与理解，对在数学分析的教学方面起到了较好的指导作用，例7：在x0=0处可导，但ff在x0=0处不可导。作者简介：潘维维(1994一)，女，江苏姜堰人，南京师范大学泰州学院数学科学与应用学院，理学学士，研究方向为数学与应用数学。47教改教法命题8：-厂()在点‰处可导不一定有)在点‰的每取xo=O,f(x)，g()在xo=O不连续，但f(x)g(x)=-I在个邻域内每一点都可导