小波理论的研究与发展.pdf

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1、v0．6No．1鲤铆炳右教育教学1小波理论的研究与发展张立国(沈阳理工大学高等数学教研室辽宁沈阳110159)摘要：小渡分析作为信号分析和处理的基本工具，他是近代数学和工程技术相结合的产物。作为新兴起的学科，具有广泛性和开放性的学术话题。他是在Fourier分析的基础上产生的，继承和发展了Fourier分析理论，但同样作为处理信号的基本工具彼此又是不可替代的。他的出现不仅是数学发展史上的重要成果，丰富和发展了数学的基本理论，而且推动工程技术的相应发展。加快了科学技术向生产力的转化。关键词：Fourier分析：小波：信号【中图分类号】O189．13

2、【文献标识码】A【文章编号】1671—8437(2014)01—0006—02小波分析作为信号分析和处理的基本工具，他是近代数学频率窗大小固定，因而并没有很好地解决时——频局部化问和工程技术相结合的产物。他的理论融合了几何学代数学和分题。小波分析正是针对Fourier变换、Gabor变换的不足而提出析数学等多种观点和方法而自成一体，从而使其发展成为现在的。分析学的两大分支之一。通过小波分析发展和应用中可以看小波分析与Fourier分析相比，同样作为处理信息技术的到，他在数学理论的完美性和数学应用的广泛性方面取得特别工具，两者之间存在着较大的差别：

3、突出的成就，为20世纪的现在分析学作了完美地总结。从理论体系上来看。小波分析是建立在各种近代数学理论一、小波分析是Fourier分析的继承和应用(包括Fourier分析理论)的基础上的，受到工程技术领域，特别Fourier分析是信号分析和图象处理的数学工具。Fourier变是信息技术发展的影响下而产生的。与Fourier分析相比教，无换的实质是把一个信号(函数)分解成许多不同频率的成分，如论是在知识的广度上、宽度上，还是在理论深度上更丰富。特别果这些频率成分加起来仍为原来的信号(函数)，而且这个过程是多分辨分析的引入，大大提高了小波分析处理数据的

4、工作效可逆且保持能量不变，那么就确定了这个信号的Fourier变换。率。利用尺度函数可以计算出小波级数的系数，甚至在不知道此时如果把Fourier变换看作是时间函数在频率上的表示，则小波函数的解析表达式的情况下得到分析的结果。Fourier变换就变成了相应信号所含信息的数学载体，这为用数从信号的时频局部化分析来看，小波分析即是时频分析，学变换分析的观点来研究信号(函数)奠定基础。他不但可以直他能同时提供时域和频域内的信息。在测不准关系下，小波分接利用于频谱分析，而且结合了卷积、滤波等有关运算，成为信析更适合处理急剧变化的、高度不稳定的信号。Fou

5、rier分析与号(函数)分析和处理的有利工具。之相比，更适合处理非常稳定的周期性的信号，而不适合应付我们对信号的分析和刻划，常常采用时域和频域两种形奇异信号。就拿处理数据而言．小波分析对信号处理的即快又式。Fourier变换虽然教好的刻划信号的频率特性．但是不能提精细，这是Fourier分析所不具备的。更何况小波理论的发展和供信号在时域上的信息，即F(∞)显示了频率信息而隐藏时间信完善是以是否适应工程技术的需要为标准。息，m)显示了时间信息而隐藏频率信息。这使信号处理中面临从辨证的角度看。小波分析的思想是处理急剧动感的问一对基本矛盾，而且我们所关

6、心的恰恰是信号在局部范围的特题。他是描述和求解非线性问题的有效方法，符合人们认识世征。这就不是Fourier分析所能完全提供的，实质是说Fourier分界和改造世界的辨证思维过程。而这辨证思维过程也是非线性析没能解决好局部化分析问题。因此有关学者把Fourier变换问题，正属于小波分析所要研究的范畴。非线性问题具有高度在应用中的局限性归结为以下四点：不可预测性，这正是造成Fourier分析的不足，而导致小波分析(1)Fourier分析善于处理线性问题，而不能处理非线性问产生的根本原因所在。因而可以说从Fourier分析到小波分析题。的发展过程是人

7、类认识自然和改造自然由现象到本质的过程。(2)要考察F(在(E，处的信息，必须知道时间区域上综上所述。小波分析作为新兴起的学科。他是在Fourier分t∈(一m，+a。)的所有信息。析的基础上产生的．继承和发展了Fourier分析理论，但是同样，一作为处理信号的基本工具彼此又是不可替代的。正如Stone空(3)=le⋯f(f)dt不能提供局部时间区域的信息。J一∞间是在研究布尔代数时被发现，但是Stone空间范畴不能取代(4)Fourier变换不能提供一个灵活多变的时间——频率窗布尔代数范畴一样。从信号研究的角度看，他们是相互补充和以适应研究不同

8、频率的信号启发的。就某一问题而言．利用Fourier分析处理可能更为方便这种Fourier分析的局限性和存在的问题．促使人们在理和自然，