“赵爽弦图”考题聚焦.doc

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1、“赵爽弦图”考题聚焦王云峰我国古代数学家赵爽利用弦图（图1），巧妙地证明了勾股定理．第24届国际数学家大会为了纪念他，特意将弦图作为会标，现举例介绍以弦图为背景的试题，供参考．例1图2是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图3所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图3中的实线）是_______．解析如图3，标注出点D、E、F、G．∵AC＝6，BC＝5．∴GD＝6．DE＝5．∵FG＝DC，∴FD＝2DG＝12．在Rt△DEF中

2、，由勾股定理，得EF＝＝13．∴这个风车的外围周长为4(EF＋FG)＝4×(13＋6)＝76．例2如图4，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4．若用x，y表示直角三角形的两直角边（x>y），下列四个说法：①x2＋y2＝49；②x－y＝2；③2xy＋4＝49；④x＋y＝9，其中说法正确的是()(A)①②(B)①②③(C)①②④(D)①②③④解析大正方形边长就是直角三角形斜边长，所以大正方形的面积等于直角三角形斜边长的平方．由勾股定理知直角三角形斜边长的平方为x2＋y2，所以x2＋y2＝49，①正确．由

3、小正方形面积为4知它的边长为2，而小正方形边长等于较长直角边与较短直角边的差，所以x－y＝2，②正确．大正方形面积等于4个直角三角形面积与小正方形面积的和，所以4×xy＋4＝49，即2xy＋4＝49，③正确．由①、③，得x2＋y2＋2xy＋4＝49×2，即（x＋y）2＝94，所以x＋y＝，④不正确．综合知，选B．例3我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图5）．图6由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S2，若S1＋S2＋S3＝1

4、0，则S2的值是___________．例4如图7，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D．边长接原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图8）；以此下去……正方形AnBnCnDn的面积为______．解析由小正方形ABCD的面积为1，知它的边长为1，则DD1＝1，DA1＝2．如图7，在Rt△D1DA1中，由勾股定理，得D1A2＝D1D2＋DA2＝12＋22＝5，所以正方形A1B1C1D1的面积为5．如图8，D1D2＝D1C1＝D1A1＝，D1A2＝2D1A1＝2．在Rt△D1D2A2中，由勾股定

5、理，得所以正方形A2B2C2D2的面积为25＝52．同理，正方形A3B3C3D3的面积为125＝53；正方形A4B4C4D4的面积为625＝54；……于是，可猜想正方形AnBnCnDn的面积为5n．例5　2002年在北京召开的世界数学大会会标图案是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的阴影部分是一个小正方形的“赵爽弦图”，如图9．若这四个全等的直角三角形有一个角为30°，顶点B1、B2、B3、…、Bn和C1、C2、C3、…、Cn分别在直线y＝－x＋＋1和x轴上，则第n个阴影正方形的面积为______．