2016考研数学二模拟题及答案.doc

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1、2016年考研数学模拟试题(数学二)参考答案一、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分,每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项的字母填在题后的括号内)1.设是多项式的最小实根,则().(A)(B)(C)(D)解选择A.由于,又是多项式的最小实根,故.2.设则函数在点().(A)取极大值(B)取极小值(C)可导(D)不可导解选择D.由极限的保号性知,存在,当时,,当时,,当时,,故在点不取极值.,所以在点不可导.3.设连续,且满足,则().(A)(B)(C)(D)解选择B.由题设知.4.微分方程的特解形式为().(A)(B)(C)(D)解选择D.特征方程,

2、特征根,是特征根,特解形式为.5.设函数连续,则下列函数中,必为偶函数的是().(A)(B)(C)(D)解选择C.由于为奇函数,故为偶函数.6.设在全平面上有,,则保证不等式成立的条件是()(A),.(B),.(C),.(D),.解选择A.关于单调减少,关于单调增加,当,时,.7.设和为实对称矩阵,且与相似,则下列结论中不正确的是().(A)与相似(B)与合同(C)(D)解选择D.与相似可以推出它们的多项式相似,它们的特征多项式相等,故A,C正确,又和为实对称矩阵,且与相似,可以推出与合同,故B正确.8.,,为维列向量,则有().(A)当时,方程组有解(B)当时,方程组有唯一

3、解(C)当时,方程组有唯一解(D)当时,方程组有无穷多解解选择A.当时,,方程组有解.二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分,把答案填在题中横线上)9..解答案为.10设有二阶连续偏导数,,则.解答案为.11.设微分方程的通解为,则.解答案为.将代入微分方程,得,故.12.数列中最大的项为.解答案为.【将数列的问题转化为函数的问题,以便利用导数解决问题】设,,时,,单调增加,故时,递增,最大,时,,单调减少,故时,递减,最大,又,数列的最大项为.13.方程在区间内的实根个数为.解答案为.令,,由零点定理知,此方程在区间内至少有一个实根,又,单调增加,故此方程在区间内

4、有且仅有一个实根.14.设阶矩阵的秩为,是非齐次线性方程组的三个线性无关的解,则的通解为.解答案为,为任意常数.是非齐次线性方程组的三个线性无关的解,则是的两个解,且它们线性无关,又,故是的基础解系,所以的通解为.三、解答题(本题共9小题,满分94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本题满分9分)求极限解16.(本题满分9分)设单调且具有一阶连续导数,满足,求可导函数.解,,代入方程,得,即,解得,其中为任意常数.17.(本题满分9分)计算积分解画出二重积分区域,是的第一象限部分,由对称性,得18.(本题满分11分)求微分方程满足初始条件,的特解.解令,代入原

5、方程,得,,,,由,得,,,即,故,由得,所以.19.(本题满分11分)设和在区间可导,并设在内,证明在内至多存在一点,使得.证设,则.若在内存在两个不同的点,使得,则由罗尔定理知,至少存在一点介于之间,使,即,于是有,与题设矛盾,故在内至多存在一点,使得.20.(本题满分11分)设有抛物线:,试确定常数的值,使得⑴与直线相切;⑵与轴所围图形绕轴旋转所得旋转体的体积最大.解设切点为,,切线斜率,代入切线方程,得.⑴又旋转体体积,,解得或者,,,故时,体积最大,将代入⑴得,所以,.21.(本题满分11分)一质量为的物体以速度从原点沿轴正方向上升,假设空气阻力与物体的运动速度平方

6、成正比(比例系数),试求物体上升的高度所满足的微分方程及初始条件,并求物体上升的最大高度.解根据牛顿第二定律,物体上升的高度所满足的微分方程为,初始条件为.代入方程,得,,记,,,积分得,时,,故,,令,得上升到最高点的时间为,上升的最大高度为.22.(本题满分11分)设.⑴当满足什么条件时,可由线性表示,且表示式唯一?⑵当满足什么条件时,可由线性表示,且表示式不唯一?并求出的表示式.解设⑴,其增广矩阵⑴当时,,方程组⑴有唯一解,即可由线性表示,且表示式唯一.⑵当时,,故当时,,方程组⑴有无穷多解,即可由线性表示,且表示式不唯一,,同解方程组为,通解为,故的表示式为,其中为任

7、意常数.23.(本题满分11分)设为阶矩阵,可逆,且,证明:⑴若是的特征向量,则也是的特征向量;⑵若有个不同的特征值,是的特征向量,则也是的特征向量.证⑴证设,则,故也是的特征向量⑵由有个不同的特征值知,的每个特征值只对应一个线性无关的特征向量,又是对应同一个特征值的特征向量,故它们线性相关,故存在常数,使得,故也是的特征向量.

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