《二次曲面习题课》PPT课件.ppt

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1、解析几何习题课(二)Chap.4二次曲面(quadricsurfaces)空间解析几何的两个基本问题：一、给定曲面，建立方程；二、给定方程,研究它的图形及其几何性质。1、柱面(cylinder)定义：一直线L沿一已知曲线C平行移动而得的曲面称为柱面。C——准线(directrix)，L——母线(ruling)直柱面：射影柱面依次消去一个变元射影柱面柱面的参数方程(parametricequation)（P147ex4）圆锥面直线l1绕另一条与l1相交于O的直线l2旋转一周所得旋转曲面称为圆锥面.O——顶点(vertex)两直线的夹角——半顶角锥面一直线通过定点O，且沿空间中

2、一条定曲线C移动所产生的曲面称为锥面.O——顶点C——准线（不唯一）动直线——母线（不唯一）2、锥面(conicalsurface)锥面的参数方程（P152ex6）3、旋转曲面(surfaceofrevolution)定义：曲线C绕定直线l旋转一周所生成的曲面称为旋转曲面。l——旋转轴，C——母线旋转曲面的参数方程（P158ex3）4、椭球面(ellipsoid)（1）椭球面的方程（2）椭球面的性质（1）关于坐标原点、坐标轴、坐标面都对称。（2）并有六个顶点（3）形状（与三个坐标面的交线）：是一个椭圆(ellipse)(2)是一个椭圆(3)是一个椭圆（4）椭球面的参数方程（

3、广义球坐标系）5、双曲面(hyperboloid)I．单叶双曲面(hyperboloidofonesheet)方程：性质：（1）关于坐标原点、坐标轴、坐标面都对称。（2）有四个顶点（3）形状：（1）是一个椭圆（腰椭圆）（2）是双曲线(hyperbola)（3）是双曲线（4）是一个椭圆ïîïíì=+=+hzchbyax2222221II．双叶双曲面(hyperboloidoftwosheets)方程：性质：（1）关于坐标原点、坐标轴、坐标面都对称。（2）有两个顶点（3）形状：（6）是双曲线（7）是双曲线参数方程(P168ex.7)(1)单叶双曲面(2)双叶双曲面6、抛物面(

4、paraboloid)I．椭圆抛物面(ellipticparaboloid)方程：性质：（1）椭圆抛物面对称于XOZ与YOZ坐标面，对称于z轴，无对称中心。（2）与对称轴交于原点（0，0，0），叫做椭圆抛物面的顶点。（3）形状：（1）是抛物线(parabola)（2）是抛物线主抛物线（3）是一个椭圆容易知道图形（3）的两对顶点分别在主抛物线（1）与（2）上。ïîïíì==+hzhbyhax2222122（4）是抛物线ïîïíì=-=tybtzax)2(22222II．双曲抛物面(hyperbolicparaboloid)方程：性质：（1）椭圆抛物面对称于XOZ与YOZ坐标面

5、，对称于z轴，无对称中心。（2）形状：（5）是一对相交于原点的直线（6）是抛物线（7）是抛物线主抛物线（8）是双曲线(hyperbola)ïîïíì==-hzhbyhax2222122（9）是抛物线７、单叶双曲面与双曲抛物面的直母线定义：由一族直线生成的曲面称为直纹面(ruledsurface)．这族直线称为曲面的一族直母线。１、单叶双曲面u族直母线v族直母线对于单叶双曲面上的每个点，两族直母线中各有一条直母线经过该点２、双曲抛物面对于双曲抛物面上的每个点，两族直母线中各有一条直母线经过该点直母线：定理单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面，而双曲抛物面上异族的任意两直母线必

6、相交。定理单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两直母线总是异面直线，而且双曲抛物面上同族的全体直母线平行于同一平面。例题例1.研究方程解:配方得此方程表示:说明:如下形式的三元二次方程(A≠0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面.表示怎样半径为的球面.球心为一个球面,或点,或虚轨迹.例2.试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面方程.解:在yoz面上直线L的方程为绕z轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方例3.求坐标面xoz上的双曲线分别绕x轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解:绕x轴旋转绕z轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为例4、

7、求准线是，母线方向为的柱面方程。解：准线可改写为所求柱面方程为消去参数u,v得例5、求半径为2，对称轴为的圆柱面方程。解：在所求圆柱面上任取一点，由得例6、求准线是，顶点为原点的锥面方程。解：准线方程为所求锥面方程为消去参数u,v得例7、由椭球面的中心，引三条两两互相垂直的射线，分别交曲面于，设，试证：（课本P162,ex4）解：设的单位向量分别为P1的坐标为，代入椭球面方程，得同理可得由于两两垂直，知是正交的矩阵，于是有所以例8、试求单叶双曲面上互相垂直的两直母线交点的轨迹方程。（课本P182,ex8）解：过单叶