计数方法与技巧(插板法).doc

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1、计数方法与技巧（插板法概念）计数方法与技巧（插板法例题1）计数方法与技巧（插板法例题2）计数之插板法习题1　　插板法就是插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。　　应用插板法必须满足三个条件：　　（1）这n个元素必须互不相异　　（2）所分成的每一组至少分得一个元素　　(3)   分成的组别彼此相异　　举个很普通的例子来说明　　把10个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？　　问题的题干满足条件（1）（2），适用插板法，c92=36　　下

2、面通过几道题目介绍下插板法的应用　　a 凑元素插板法（有些题目满足条件（1），不满足条件（2），此时可适用此方法）　　1：把10个相同的小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？　　2：把10个相同小球放入3个不同箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？　　b添板插板法　　3：把10个相同小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？　　4：有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257，1459等等，这类数共有几个？　　5：有一类自然数，从第

3、四个数字开始，每个数字都恰好是它前面三个数字之和，直至不能再写为止，如2349，1427等等，这类数共有几个？　　点击下页查看答案：　答案：　　1、3个箱子都可能取到空球，条件（2）不满足，此时如果在3个箱子种各预先放入1个小球，则问题就等价于把13个相同小球放入3个不同箱子，每个箱子至少一个，有几种情况？　　显然就是c122=66　　2、我们可以在第二个箱子先放入10个小球中的2个，小球剩8个放3个箱子，然后在第三个箱子放入8个小球之外的1个小球，则问题转化为把9个相同小球放3不同箱子，每箱至少1个，几种方法？c82

4、=28　　3、　-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-          o表示10个小球，-表示空位　　11个空位中取2个加入2块板，第一组和第三组可以取到空的情况，第2组始终不能取空　　此时若在第11个空位后加入第12块板，设取到该板时，第二组取球为空　　则每一组都可能取球为空  c122=66　　4、因为前2位数字唯一对应了符合要求的一个数，只要求出前2位有几种情况即可，设前两位为ab　　显然a+b<=9,且a不为0　　1-1-1-1-1-1-1-1-1-  -          1代表9个1，-代表10个空

5、位　　我们可以在这9个空位中插入2个板，分成3组，第一组取到a个1，第二组取到b个1，但此时第二组始终不能取空，若多添加第10个空时，设取到该板时第二组取空，即b=0，所以一共有c102=45　　5、类似的，某数的前三位为abc，a+b+c<=9,a不为0　　1-1-1-1-1-1-1-1-1-  - -　　在9个空位种插如3板，分成4组，第一组取a个1，第二组取b个1，第三组取c个1，由于第二，第三组都不能取到空，所以添加2块板　　设取到第10个板时，第二组取空，即b=0；取到第11个板时，第三组取空，即c=0。所以

6、一共有c113=165　计数之插板法习题2　　c选板法　　6：有10粒糖，如果每天至少吃一粒(多不限)，吃完为止，求有多少种不同吃法？　　d分类插板　　7：小梅有15块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？　　e二次插板法　　8：在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对次序不变，再添加3个节目，共有几种情况？　答案：　　6、o-o-o-o-o-o-o-o-o-o    o代表10个糖，-代表9块板　　10块糖，9个空，插入9块板，每个板都可以选择放或是不放，相邻两个板间的糖一天吃掉　　这样一

7、共就是2^9=512啦　　7、此问题不能用插板法的原因在于没有规定一定要吃几天，因此我们需要对吃的天数进行分类讨论　　最多吃5天，最少吃1天　　1：吃1天或是5天，各一种吃法 一共2种情况　　2：吃2天，每天预先吃2块，即问11块糖，每天至少吃1块，吃2天，几种情况？c101=10　　3：吃3天，每天预先吃2块，即问9块糖，每天至少1块，吃3天?c82=28　　4：吃4天，每天预先吃2块，即问7块糖，每天至少1块，吃4天？c63=20　　所以一共是2+10+28+20=60种　　8、　-o-o-o-o-o-o-    

8、     三个节目abc　　可以用一个节目去插7个空位，再用第二个节目去插8个空位，用最后个节目去插9个空位　　所以一共是c71×c81×c9 1=504种 　1、将9台型号相同的电脑送给三所希望小学，每个学校至少分1台，共有多少种分法？　　2、将13台型号相同的电脑送给三所希望小学，每个学校至少分2台，共有多少种分法？　　3、将