应用泛函分析教案1.doc

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1、第二章度量空间§2.1度量空间的进一步例子教学内容（或课题）：目的要求：在复习第二章度量空间基本概念前提下，要求进-步常握离散度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间等.教学过程：一复习度量空间的概念设X是个集合，若对于Vx,yeX,都有唯一确定的实数〃（兀y）与之对应，且满足1°d（x,y）AO,〃（x,y）二Oo兀=y;2°〃（兀,y）

2、（儿，儿，…,儿），规定距离为〃（忑y）二£（兀一”『•/=1丿C［a,b］空间C［a,b］表闭区间［a,Z?］JL实值（或复值）连续函数的全体.对C［a,b］中任意两点兀』,定义d（圮y）二maxx（r）-y（r）.ip（i"v+oo）空间记/"Hz&jtKLifHrve.*=1‘设x={x*}：T，y={yk}Z=ie>定义d（*，y）=（£

3、x厂片二度量空间的进一步例子例1设X是任意非空集合，对于Vx,yeX,令1,当兀工y;0,当兀=y容易验证1°d（兀,y）»0,d（x,y）=0^>x=y;2°d（%,y）Vd（兀,z）+〃（

4、y,z）对0兀,X都成立.称（X,d）为离散的度量空间.由此可见，在任何非空的集合上总可以定义距离，使它成为度量空间.例2序列空间S令S表示实数列（或复数列）的全体，对Vx=｛xk｝；=1,尸｛儿忆,心-儿1+心一儿显然右边的级数总是收敛的•易知r/（x,y）>0,且J（x,y）=0o兀=y.即d^y）满足条件1°.对Vd,Z?gC,先证1+”+b实因令心乔（0「<+oo）,则因为广（卜吋>0,所6/+/?

5、1+a+以函数兀）=士在［0,+妨上单调递增•又因为a+b

6、I+彳+1/?

7、I

8、+a+问I+问+1/?

9、I+ci1+1/?

10、再令z=｛◎｝：］‘a=xk-zk,”=s-儿’则a+b=xk-yk.由上述已证的不等式，得心一儿vXk-j+J—儿1+耳一儿一1+心一s1+S-儿6/+/?

11、1+a+以函数兀）=士在［0,+妨上单调递增•又因为a+b

12、I+彳+1/?

13、I+a+问I+问+1/?

14、I+ci1+1/?

15、再令z=｛◎｝：］‘a=xk-zk,”=s-儿’则a+b=xk-yk.由上述已证的不等式，得心一儿vXk-j+J—儿1+耳一儿一1+心一s1+S-儿由此推得2°d（x

16、.y）0,且r/(x,y)=O<^>Vrw4成立兀(()=)心)，即〃(x,y)满足条件1°•又SeA,有卜&)-)心M卜("-z("+

17、z(r)-y(t)

18、x(r)-z("+sup

19、z(f)-y(”teAteA所以sup

20、x(r)-y(f)

21、x(r)-z(r)

22、+sup

23、z(r)-y(

24、".即d(兀,y)满足条teAteAteA件2°.特别当A=[a,b]时,B⑷二.例4可测函数空间M(X)设M(X)为X上实值(或复值)的Lebesgue可测函数的全体，m为Lebesgue测度，若m(X)0且d（/,g）=0of=g,即d（f,g）满足条件1°・其次（参考例2）dm<韶r+i韶都成立.即）满足条件2°•故M（X）按上述距离〃（.f,g）成为度量空间.作业P

25、205.2.4.作业提示2.与例2处理方法类似.4•利用亠当^>0时的递增性.1+X§2.2(1)度量空间中的极限教学内容（或课题）：目的要求：掌握一般的度量空间屮的邻域、内点、外点、界点、导集、闭包、开集、闭集、收敛点列等概念，认识具体空间小点列收敛的具体意义.教学过程：设（X,〃）为度量空间，〃是距离，定义B(Xo，g)={xwXd{x,xQ)1仿§2.2-§2.3,设E是度量空间(X,d)屮的一•个

26、子集，兀。是厂卞一点若存在X。的某一邻域U(无°),s.t.(/(x0)cz£,贝I淋X。为£*的内点.若X。是CE的内点，则称兀。为E的外点.若V(/(x0)内既有E的点又有非E的点，则称心