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1、抛物线的焦点弦有关性质探究武钢三中儈立波【教学H的】1、知识与技能目标：理解抛物线焦点弦与切线有关的性质，掌握其性质的推导过程.2、过程与方法目标：(!)通过其性质证明、体会方程的思想在解析儿何问题屮的应用.(2)逐步培养学牛发现问题、分析问题、解决问题的良好习惯.3、情感、态度与价值观目标:(1)体会数学各知识点2问的相互联系，感受万物世界的相互依存.(2)培养学生善于思考，勇于探索的钻研精神.【教学重点】焦点弦有关性质的证明【教学过程】【知识回顾】1、过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作弦AB,设
2、B(x2,y2),则m=_02,p~2、过抛物线上一点的切线方程(1)点P(x°,y。)是抛物线尸=2皿仏工0)上一点，则抛物线过点P的切线方程是:y°y=m(x0+x)(2)点P(x(),y())是抛物线/=2®仏工())上一点，则抛物线过点P的切线方程是:【有关性质的探究】1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊Z处?结论：交点在准线上以y2=2px(〃>0)为例说明特例:当弦AB丄x轴吋，则点P的坐标为准线上证明:当弦ABxt焦点F,则过4点的切线方程是:设人(石，儿)、〃(
3、兀2,儿)过B点的切线方程是：=/心+兀2)由①一②可得:(}?1_y2)y=p(Xi_x2)即：()?1-yi)y=P')]"2p代入①式可得：儿•y2=2px•••弦AB过焦点弦,由焦点弦性质可知£即交点p坐标为>X结论延伸：切线交点与弦屮点连线平行于对称轴结论发散：当弦不过焦点即切线交点P不在准线上吋，切线交点与弦屮点的连线也平行于对称轴.2、上述命题的逆命题是否成立？结论：过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点以y~=2px(p>0)为例说明特例：过准线与x轴的交点作抛物线的切
4、线，则过两切点AB的弦必过焦点.证明:P-—,0,设A(X],yJ、B(x2,y2),则切线昭的方程为y}y=p(x+,切线的方程为『2$=#(兀+兀2)・均过点P，则x=—x2=—,故弦ABil焦点.证明：设准线丄任一点P-上,,切点分别为4(X],yJ、则切线方程分别为：yp=+y2y=p{x+x2)BB丄I,过点A,B的切线相交于P点，PQ与抛物线交于点M.(1)PA与是否有特殊的位置关系?结论：PA1PB.2证明：kPA=—,kpb=丄,・*・kp「kpB=—=-I戸)‘2)「为・•・〃丄(2
5、)PF与是否有特殊的位置关系?_>?1+)‘2PF结论：PFLAB.p=(pX+儿),F=/Loi2，2丿<2丿证明:X一)‘2_)'
6、一)‘2_2p—9~—码一兀2歼一)‘2「)1+)‘22p•:KpFxKab=-1:.PFLAB.(3)点M与点P、结论：M平分P00的关系v_yl_()1+)2)2_W+y-2p2_2p(x}+x2)-2p2_x{^x2-p_XP+XQ%===4■2p8p・・・M平分PQ.(4)直线说与ZA.AB,直线阳与ZB1B4的关系结论：明平分ZAiAB,平分8#证明：AP=
7、、222'乔乔十才字+今2(2P=X
8、~H———Fpx^—兀］+、2P_2丿即审平分ZA0B,同理平分B}BA.（5）网•阴与丽2的大小比较结论：FAFB=PF2证明：FA=西―，FB=心―£,儿，PF=（“+儿）丿（2丿2丿网•网=_価•而）=£—号卜一百—沁/八乙）+字+宀耳+址+对耳+护（6）的最值问题UAR4Bmin结论:证明:SAPAB=^PQ-y.-y2型学=扣+兀2）+彳naRE+彳=0（当斗二勺二彳时取X一儿
9、=
10、）讣+
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12、三2』才
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14、旳
15、=2p（当X=—儿=卩时取“」'）・
16、・・s沖罰=/异（两等号可同时取得）课下思考：为弦不过焦点，切线交于戶点吋，有无与上述结论类似结果.%1刊平分ZA}AB,同理PB平分ZB、BA・%1ZPFA=ZPFB%1点M平分PQ%1
17、e4
18、-
19、fb
20、=pf2【练习】(2006年重庆高考(文)22)对每个正整数n,4您，儿)是抛物线宀4y上的点,过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点,(1)试证:Xn•=一4(77>I)⑵取兀“=2",并G为抛物线上分别以九与8“为切点的两条切线的交点，求证：
21、fc』+
22、fg
23、+・・・+
24、fc」=2"—2W1SMI)(
25、1)证明：焦点(0,1)设直线AnBn方程为：y=knx+1y=Kx+[x~=4y消去)，得x2-4V-4=0(2)由)「=丄兀则y'xn=故兀2=4y在An处切线方程为y-儿=守(兀-xj,即y=^-x-予类似的,x2=4y在Bn处切线方程为y-tn=^-(x-sn),即"牛-手两式相减得x=土二代入可得y・•・PCn99+4=y；+2二44(八2如+ZI2兀丿从而FCn=/.
26、FC1
27、+
28、FC2
29、+...+
30、FC/J=
