2013年北大自主招生联考数学试题及解答.doc

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1、2013年北约自主招生数学试题2013-3-16（时间90分钟，满分120分）一选择题（每题8分，共48分）1．以和为两根的有理系数多项式的次数最小是多少（）A．2B．3C．5D．62．在的棋盘中停放着3个红色車和3个黑色車，每一行、每一列都只有一个車，共有多少种停放方法（）A．720B．20C．518400D．144003．已知，，则的值为（）．A．-10B．-12C．-14D．-16ＡＢＣＤＭＮE4．如图，在△ABC中，D为BC中点，DM平分∠ADB交AB于点M，DN平分∠ADC交AC于N，则BM+CN与MN的关系为()A.BM+CN＞MNB.

2、MN+CN

3、2013年北约自主招生数学试题解析2013-3-16（时间90分钟，满分120分）一选择题（每题8分，共48分）1．以和为两根的有理系数多项式的次数最小是多少（）A．2B．3C．5D．6【解析】显然为满足要求的多项式，其次数为5．若存在次有理系数多项式以和为两根，则必含有因式，∴，即最小次数为5．故选C．2．在的棋盘中停放着3个红色車和3个黑色車，每一行、每一列都只有一个車，共有多少种停放方法（）A．720B．20C．518400D．14400【解析】先排3个红色車，从6行中任取3行，有种取法；在选定的3行中第一行有6种停法，第一行选定后第二行有5种停

4、法，第二行选定后第三行有4种停法；红車放定后，黑車只有6种停法．故停放方法共种．故选D．3．已知，，则的值为（）．A．-10B．-12C．-14D．-16【解析】∵，又由，，有∴或．当时，有，，；当时，，ＡＢＣＤＭＮ．故选D．ＡＢＣＤＭＮE4．如图，在△ABC中，D为BC中点，DM平分∠ADB交AB于点M，DN平分∠ADC交AC于N，则BM+CN与MN的关系为()A.BM+CN＞MNB.MN+CN

5、BM＋BE＞EM，得BM＋CN＞MN．5．设数列满足，前项和为，，求．【解析】∵，，∴；由，有时，，于是，特征方程有重根2，可设，将，代入上式，得，，于是，∴．故选A6．模长为１的复数满足，求．A．-1/2B．1C．2D．无法确定【解析】取，便能得到＝1．下面给出证明，，于是．∴＝1．二、解答题(每题18分,共72分)7．最多有多少个两两不等的正整数，满足其中任意三数之和都为素数．【解析】设满足条件的正整数为个．考虑模3的同余类，共三类，记为，，．则这个正整数需同时满足①不能三类都有；②同一类中不能有3个和超过3个．否则都会出现三数之和为3的倍数．故．

6、当时，取1，3，7，9，其任意三数之和为11，13，17，19均为素数，满足题意，所以满足要求的正整数最多有4个．8．已知，为2013个实数，满足，且…，求证．【解析】设…，若，则，，…，，，于是，∴，进而．若，则，，…，这2013个数去掉绝对值号后只能取和两值，又…，即这2013个数去掉绝对值号后取和两值的个数相同，这不可能．9．对于任意的，求的值．【解析】，，，，各式相加，得．10．已知有个实数，排列成阶数阵，记作使得数阵的每一行从左到右都是递增的，即对任意的，当时，有；现将的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的阶数阵，记作，即

7、对任意的，当时，有，试判断中每一行的各数的大小关系，并加以证明．【解析】数阵中的中每一行的各数仍是递增的．下面用反证法给出证明．若在第行存在，令，其中，，则当时，即在第列中至少有个数小于，也就是在数阵中的第列中至少排在第行，这与排在第行矛盾．所以数阵中的中每一行的各数仍是递增的．