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《高等代数张禾瑞版教案-第5章矩阵.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第五章矩阵教学目的：1.掌握矩阵的加法，乘法及数与矩阵的乘法运算法则。及其基本性质，并熟练地对矩阵进行运算。2.了解几种特殊矩阵的性质。教学内容：5.1矩阵的运算1矩阵相等我们将在一个数域上来讨论。令F是一个数域。用F的元素aij作成的一个m行n列矩阵A=叫做F上一个矩阵。A也简记作（aij）。为了指明A的行数和列数，有时也把它记作Amn或（aij）mn。一个m行n列矩阵简称为一个m*n矩阵。特别，把一个n*n矩阵叫做一个n阶正方阵，或n阶矩阵。F上两个矩阵，只有在它们有相同的行数和列数，并且对应位置上的元素都相等时，才认为上相等的。以下提到矩阵时，都指的是数域F上的矩阵。我们将引进三
2、种运算：数与矩阵的乘法，矩阵的加法以及矩阵的乘法。先引入前两种运算。2矩阵的线性运算定义1数域F的数a与F上一个m*n矩阵A=(aij)的乘法aA指的是m*n矩阵（aaij）定义2两个m*n矩阵A=(aij)，B=(bij)的和A+B指的是m*n矩阵（aij+bij）。注意，我们只能把行数相同，列数相同的两个矩阵相加。以上两种运算的一个重要特例是数列的运算。现在回到一般的矩阵。我们把元素全是零的矩阵叫做零矩阵，记作0。如果矩阵A=(aij)，我们就把矩阵（-aij），叫做A的负矩阵，记作—A。3矩阵线性运输的规律A+B=B+A；(A+B)+C=A+(B+C)；0+A=A；A+(-A)=
3、0；a(A+B)=Aa+Ab；(a+b)A=Aa+Ba；a(bA)=(ab)A；这里A,B和C表示任意m*n矩阵，而a和b表示F中的任意数。利用负矩阵，我们如下定义矩阵的减法：A—B=A+（—B）。于是有A+B=CA=C—B。由于数列是矩阵的特例，以上运算规律对于数列也成立。4乘法定义3数域F上的m*n矩阵A=(aij)与n*p矩阵B=(bij)的乘积AB指的是这样的一个m*p矩阵。这个矩阵的第I行第j列（I=1,2,…，m;j=1,2,…p）的元素cij等于A的第I行的元素与B的第j列的对应元素的乘积的和：cij=ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj。注意，两个矩阵只有当第一
4、个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时才能相乘。我们看一个例子:==.5矩阵乘法的运算规律：对于数的乘法成立的运算规律，对于矩阵的乘法说并不都成立。值得一提的是以下两点。两个非零矩阵的乘积肯是零矩阵，例如：.矩阵的乘法不满足交换律。首先，当p¹m时AmnBnp有意义，但BnpAmn没有意义。其次，AmnBnp和BnmAmn虽然有意义，但是当m¹n时，头一个乘积是m阶矩阵而第二个是n阶矩阵，它们不相等。最后，AnnBnn和BnnAnn虽然都是n阶矩阵，但它们也未必相等。例如但是距阵乘法满足结合律:(AB)C=A(BC)事实上,可以假定A=(aij)mn,B=(bij)np,C=(cij)pq
5、,那么(AB)C和A(BC)都是m*n距阵,我们来证明它们的对应元素相等,令AB=U=(uij),BC=V=(vij).由距阵乘法知,=,,因此(AB)C=UC的第I行第j列的元素是(1)另一方面, A(BC)=AV的第I行第j列的元素是(2)由于双重求和符号可以交换次序,所以(1)和(2)的又端相等.这就证明了结合律.我们知道,数1乘任何数a仍得a.对距阵的乘法来说,存在这样的距阵,他们有类似于数1的性质.我们把主对角线上(从左上角到右下角的对角线)上的元素都是1,而其它元素都是0的n阶正距阵10…001…0…………001叫做n阶单位距阵，记作In,有时简记作I.In显然有以下性质：
6、InAnp=Anp;AmnIn=Amn.距阵的乘法和加法满足分配律：A(B+C)=AB+AC;(B+C)A=BA+CA;这两个式子的验证比较简单，我们留给读者。注意，由于距阵的乘法不满足结合律，所以着两个式子并不能互推。距阵的乘法和数与距阵的乘法显然满足以下运算规律：a(AB)=(aA)B=A(aB).给了任意r个距阵A1,A2,……Ar,只要前一个距阵的列数等于后一个距阵的行数，就可以把它们依次相乘，由于距阵的乘法满足结合律，作这样的乘积时，我们可以把因子任意结合，而乘积A1A2……Ar有完全确定的意义。特别，一个n阶正方阵A的r次方（r是正整数）有意义我们再约定A0=I这样一来，一
7、个n阶距阵的任意非负整数次方都有意义。设f(x)=a0+a1+……+amxm是F[x]中有确定的意义，它仍然是F上的一个n阶正方阵，我们将它记作f(x):f(A)=a0I+a1A+……+amAm.如果f(x),g(x)F[x],而A是一个n阶距阵，令u(x)=f(x)+g(A),v(x)=f(x)g(x)于是有u(A)=f(A)+g(A),v(A)=f(A)g(A)5距阵的转置定义4设m*n距阵a11a12……a1nA=a21a22……a2n…
