计算机图形学曲线和曲面.ppt

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1、第4章曲线和曲面4.1曲线和曲面基础4.2二次插值样条曲线4.3三次插值样条曲线4.4Bezier曲线和曲面4.5B样条曲线曲线或曲面分为两大类：规则曲线或曲面：可以用一个确切的曲线或曲面方程式来表示。比如，圆和球面、椭圆和椭球面、抛物线和抛物面、正弦曲线、摆线、螺线等。不规则曲线或曲面：不能确切给出描述整个曲线或曲面的方程，是由实际测量中得到的一系列离散数据点用拟合方法来逼近的。一般采用分段的多项式参数方程来表示，由此形成一条光滑连续的曲线或曲面，称为样条曲线或曲面。比如Hermite样条曲线或曲面、Bezie

2、r样条曲线或曲面、B样条曲线或曲面等。4.1曲线和曲面基础一、直角坐标表示1、显式：y=f(x)，如y=sin(x)。2、隐式：f(x,y)=0，如x2+y2=1。3、转换成参数坐标表示：①一般形式：x=x(t)y=y(t)②显式表示y=f(x)的曲线转换成参数坐标表示：x=xy=f(x)4.1.1规则曲线或曲面的表示法③隐式表示f(x,y)=0的曲线转换成参数坐标表示：常用的重要曲线基本上都能用参数坐标表示。例如，星形线的直角坐标表示（隐式）：x2/3+y2/3=R2/3（R正常数）写成参数坐标表示：x=Rco

3、s3θy=Rsin3θ（0≤θ≤2π）4.1.1规则曲线或曲面的表示法二、极坐标表示对任意极坐标曲线ρ=ρ(θ)，可利用极坐标与直角坐标变换关系式：x=ρcosθy=ρsinθ将此曲线转换成参数坐标表示为：x=ρ(θ)cosθy=ρ(θ)sinθ4.1.1规则曲线或曲面的表示法极坐标与直角坐标变换关系式为：x=ρcosθy=ρsinθ将ρ=aθ代入上面两式，阿基米德螺线用参数坐标表示为：x=aθcosθy=aθsinθ例如，重要曲线阿基米德螺线的极坐标表示：ρ=aθ（a正常数）4.1.1规则曲线或曲面的表示法三、

4、参数坐标表示曲线的参数坐标一般表示为：x=x(t)y=y(t)例如，弹道曲线：x=V0tcosαy=V0tsinα–gt2/2（0≤t≤2V0Sinα/g）式中V0、g、α均为常数，t为参数变量。4.1.1规则曲线或曲面的表示法4.1.2参数样条曲线或曲面的常用术语常用的二次或三次参数样条曲线或曲面形式如下：二次参数样条曲线：P(t)=A0+A1t+A2t2三次参数样条曲线：P(t)=A0+A1t+A2t2+A3t31．型值点：是指通过测量或计算得到的曲线或曲面上少量描述其几何形状的数据点。2．控制点：是指用来控

5、制或调整曲线或曲面形状的特殊点，曲线或曲面本身不一定通过该控制点。3．插值与逼近插值方法要求建立的曲线或曲面数学模型，严格通过已知的每一个型值点。而逼近方法建立的曲线或曲面数学模型只是近似地接近已知的型值点。4.1.2参数样条曲线或曲面的常用术语4．拟合是指在曲线或曲面的设计过程中，用插值或逼近的方法使生成的曲线或曲面达到某些设计要求，如在允许的范围内贴近原始的型值点或控制点序列，或曲线看上去很光滑等。拟合是插值与逼近两种设计方法的统称。5．参数连续性与几何连续性设计一条复杂曲线时，经常通过多段曲线组合而成，这需

6、要解决曲线段之间光滑连接的问题。为保证分段参数曲线从一段到另一段平滑过渡，可以在连接点处要求各种参数连续性条件。4.1.2参数样条曲线或曲面的常用术语0阶参数连续性：记作C0连续，是指曲线相连，即前一个曲线段的终点与后一个曲线段的起点相同。P(1)=Q(0)一阶参数连续性：记作C1连续，是指两个相邻曲线段在连接点处有相同的一阶导数。P’(1)=Q’(0)二阶参数连续性：记作C2连续，是指两个相邻曲线段在连接点处有相同的一阶和二阶导数。P’(1)=Q’(0)且P’’(1)=Q’’(0)4.1.2参数样条曲线或曲面的

7、常用术语连接两个相邻曲线段的另一个方法是指定几何连续性条件。这种情况下，只需相邻两个曲线段在连接点处的参数导数成比例而不是相等。0阶几何连续性：记为G0连续，与C0连续相同，即前一个曲线段的终点与后一个曲线段的起点相同。P(1)=Q(0)4.1.2参数样条曲线或曲面的常用术语一阶几何连续性：记为G1连续，指两个相邻曲线段在连接点处的一阶导数成比例但不一定相等。P’(1)=Q’(0)(>0)二阶几何连续性：记为G2连续，指两个相邻曲线段在连接点处的一阶导数和二阶导数均成比例但不一定相等。P’(1)=Q’(0)

8、且P’’(1)=Q’’(0)(>0，>0)4.1.2参数样条曲线或曲面的常用术语4.2二次插值样条曲线在拟合生成样条曲线的众多方法中，首先来讨论用插值方法生成通过给定离散型值点的二次样条曲线，即抛物样条曲线。二次插值样条曲线的数学表达式二次插值样条曲线的加权合成二次插值样条曲线的端点条件二次插值样条曲线的性质4.2.1二次插值样条曲线的数学表达式已知不在同一直线上的