最短路径问题参赛课件·.ppt

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1、13.4课题学习最短路径问题黄冈中学惠州学校2015年12月20日课件说明本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题．课件说明学习目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．学习重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线

2、上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．下面我们就“将军饮马问题”和造桥选址问题一起来看看吧！引言：问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？BAl将军饮马问题精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？BAl想一想这是一个实际问题，你打算首先做什么？将A，B两

3、地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．B··Al想一想你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？（1）从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．（3）设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小（如图）．BAlC想一想作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．问题2如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB

4、的和最小？B·lA·B′C想一想，做一做证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′CC′在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．想一想，做一做若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．B·lA·B′CC′追问1证明AC+BC最短时，为什

5、么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC+BC＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？想一想，做一做如图所示，要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．试一试居民B.居民A.街道A'MNB·AB'CD试一试L如图：A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。作法：1.作点A关于直线MN的对称点A',2.作点B关于直线L的对称点点B',3.连接A‘B’分别交直线MN、L于点C、D，则A-C-D

6、-B最短A·BMNE....作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2.连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。P86如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）造桥选址问题你能证明AM+ME最小吗？问题2（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）（1）本节课研究问题的基本过程是什么？（2）轴对称在所研究问题中

7、起什么作用？作业小结1.教科书复习题13．