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《规律探索的基础(许万平).doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、规律探索的基础一些有趣的数列三角形数古希腊科学家把数1，3,6,10,15,21……这些数量的，都可以排成三角形，像这样的数称为三角形数。它有一定的规律性，排列如下，像上面的1、3、6、10、15这些能够表示成三角形的形状的总数量的数，叫做三角形数。1+2=31+2+3=61+2今3+4=101+2+3+4+5=15正方形数1、4、16“•这样的数称为“正方形数”.从图屮可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”Z和.4-1+39-3+6谢宾斯基(Sierpinski)三角形在下图四个三角形屮，着色三幷形的个数依次构成一个数列的前4项
2、，着色三幷形的个数依次为1,3,9,27.则数列前4项祁是3的指数幕，指数为序号减1。通项公式是：An二3的nT次方斐波那契数列“斐波那契数列（Fibonacci^的发明者，是意大利数学家列昂纳多•斐波那契斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为：（见图）（又叫“比内公式”,是用无理数表示有理数的一个范例。）有趣的是：这样一个完全是自然数的数列,通项公式居然是用无理数来表达的。着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近童金金晝L的数值0.6180339887斐波那契数列
3、在自然界中的出现是如此地频繁，人们深信这不是偶然的。（1）细察下列各种花，它们的花瓣的数目具有斐波那契数：延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、楼斗菜、百合花、蝴蝶花。（2）细察以下花的类似花瓣部分，它们也具有斐波那契数：紫宛、大波斯菊、雏菊。斐波那契数经常与花瓣的数目相结合:百合和蝴蝶花蓝花褛斗菜、金凤花、飞燕草8翠雀花13金盏草21紫宛34,55,84雏菊通项公式写出下面数列的通项1，2,3,4,5,6，ooooooooooo2,4,6,8,10,12,ooooo。。。。13^5,7^9,OOOOOOOOOOOO3,5,7,9，11,OOOO000
4、0・1，135,OOOOOOO2,4,8J6,OOOOOOOO1，2,4,8，16,OOOOoooo1,3,7,15,OOOOOOOO5,7，11，19，OOOOOooO1,・1，1，■1,0000oooo1，・2,3,*4^5^oooOOOO4^7^10^13^16^19,OOOOoooo1“/Z’lOJSJ6,OOOOoooo・4,7,*10^13,・16,oo。00001，0,1^0,1,oOOOOOOO1JOJ5，OOOOoooo1，2,3,5,8,13,21,ooo以上的数列的通项公式是我们以后探究数列通项公式的基础,同学们要在理解的基础上识记它们。
5、有些公式，也可以从函数的角度去记忆它们，也可以对它们的本质有一个较高的认识。一般有下面的几种函数形式:y=an+by=an2+bn+cy=cany=can+b使用函数的解需式也可以解决一些求通项的问题，我们在后面要讲到。i：i高斯求和公式200年前，德国著名数学家高斯的算术老师提出了下面问题:1+2+3+4+…+100二？据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：(1+100)+(2+99)+•••+(50+51)=101X50=5050高斯的算法实际上解决了数列1,2,3,…，n,…前11项的和的问题。我们可以
6、仿照高斯的方法计算1,2,3,…，n,…的前n项的和：1+2+・・・+n~l+nn+n-l+…+2+1(n+l)+(n+1)~~++(n+1)+~~(n+1)可知高斯后来成为历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”。如果要你应用高斯的方法计算下面的式子的值:101+102+103+-+1000=?
