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1、高等数学基础作业3第4章导数的应用一：单项选择题1：若函数/（尢）满足条件（D）,则存在歹丘仏/几使得广（自二/何二也）ob-aA:在仏b）内连续B:在仏/?）内可导C:在（“）内连续且可导D:在［°上］内连续，在（以）内可导2:函数/（x）=x2+4x-啲单调增加区间是（D）。A：(-oo,2)B:(-1,1)C：(2,+oo)D:(-2,+oo)3:函数y=x2+4x-5在区间（-6,6）内满足（A）。A:先单调下降再单调上升C：先单调上升再单调下降B：单调下降D：单调上升4：函数/（兀）满足广（无）=0的点，一定是/（x）的（C）oA：间断点C：驻点B：极值点D:
2、拐点5：设/⑴在仏方）内有连续的二阶导数，兀。丘（以），若/⑴满足（C）,则/（兀）在兀。取得极小值。A：广（兀。）〉0,厂（心）=0B：广（讥0,厂（心）=0C：广（兀。）=0,厂（兀。）〉0D：广（心）=0,广仏。）（06:设/（兀）在（以）内有连续的二阶导数，且广（錯0,广（逹。，则/（兀）在此区间内是（A）oA：单调减少且是凸的C：单调增加且是凸的B：单调减少且是凹的D:单调增加且是凹的二：填空题1:设/（x）在（d,b）内可导，x0e（a?&）,且当时fr（x ,当兀〉心时广（尤）〉0,则心是/（兀）的（极小值）点。2:若函数几x）在点兀。可导，且心是/⑴的
3、极值点，则广山）=（0）・3：函数y=ln（l+F）的单调减少区间是（（-oo,0））。4：函数.f⑴之'的单调增加区间是（（0,4-3））。5：若函数/&）在［a,b］内恒有广（兀）｛0,则/（x）在［a,b］上的最大值是（/（a））。6：函数/（x）=2+5x-3x3的拐点是（（0,2））。三：计算题1：求函数y=（x+l）（兀-5）2的单调区间和极值。解：yr—（x—5尸+（x+l）2（x—5）=3（x—5）（x—1）令yr=0=>X］=l;x2=5两个驻点。列表如下：X(-°°,1)1/+0y/极大值y(l)=32(1,5)5（5，+8）■0+极小值y（5）=o
4、/2:求函数），=，一？兀+3在区间［0,3］内的极值点，并求最大值和最小值。解：yr=2x-2=2(兀一1),令;/=0=>兀=1且x〈lny'〈0;x〉l=>y'〉0y（1）二2是极小值点。y（0）=3y（3）=6即y（l）=2是最小值，y（3）=6是最大值©3:求曲线y2=2x±的点，使其到点4（2,0）的距离最短.设y2=2兀的一点(x,±V2x^ljA(2,0)rKl距离为〃解：测d(x)=J好-0『+(兀一2尸n/&)二_2二2(匸2)二=0y/2x+(x-2)2=>2x-2=0=>x=l=>所求点为(1,/^加(1,・“)4:圆柱体上底的中心到下底的边沿的
5、距离为仃问当底半径与高分别为多少时,柱体的体积最大?解：如图所示，圆柱体高力与底半径7满足柱体的体积公式为将r2=l2-h2代入得V=n(l2-h2)h求导得Vf=71(-2/?2+(I2一/?2))=7t(Z2一3h2)令厂=0得h=4,并由此解出r=^l.即当底半径厂=空高匸/时,3333圆柱体的体积最大.5:一个体积为"的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小?解：设圆柱体的底半径为巧高为h,则其表面积为s,s=2/rxr2+2^xrx/?2/rxr2+2V由"0,得唯一驻点r=3
6、—,由实际问题可知，当r=3；2L时可使用料最2tt2tt省。此时h=^-9
7、即当圆柱体的底半径与髙分别为#［，与彳［时，表面积最小。6:欲做一个底为正方形，容积为62・5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解:设长方体的底面边长为兀,则长方体的高力=呼所用材料的面积为心)=*+4xxx"*+型&〉o)X$©)=21竺,令$©)=0,=>，=125,得到唯一•驻点兀=5,因为本问题存在最小值，且函数的驻点x唯一，所以当底面边长"5(米)，高〃=誉=2.5(米対，所用材料最省。四：证明题1:当x〉0时，证明不等式x>ln(l+X)・证明：设F(a)=^-arctanx,则有F'(x)=1r=—一^丁1+x1+JC当x〉0时，Fx)>0,故F
8、(x)单调增加，所以当兀>0时有F(x)>F(0)=0,即不等式x>arctanx成立，证毕.2：当兀〉0时，证明不等式cA>x+l.证明:4/(x)=ex-x-l,则ff(x)=ex-l当兀〉0时，广&)=/-1〉0,是增函数，Rf(0)=e'-1=0当兀〉0时，f(x)=ex一xe)0=>ex)x+.
