影院座位设计.docx

《影院座位设计.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、影院座位设计摘要本文研究了电影院座位设计问题，由于座位的满意程度主要取决于视角a和仰角b，我们建立了满意程度的数学模型，并进行最优求解。问题一，首先利用了加权平均数建立满意度随座位与屏幕距离的变化而变化的模型，并利用matlab软件对该函数进行分析，结果当座位在最后一排时，观众的满意度最大。问题二，在问题一的模型的基础上，将q角也定为变量，建立满意程度随座位与屏幕距离和q角的变化而变化的模型，再对变量x求相应区间的定积分，从而可以得到平均满意度随q角变化的模型，再用matlab软件分析模型，求得当q=2

2、0°时，平均满意度最大。关键词：加权平均数满意度函数定积分一、问题重述影院座位的满意程度主要取决于视角a和仰角b。视角a是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，a越大越好；仰角b是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，b太大是人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求b不超过30°.记影院屏幕高h,上边缘距地面高H，地板线倾角q，第一排和最后一排座位与屏幕水平距离分别为d和D，观众平均坐高为c（指眼睛到地面的距离）。已知参数h=1.8m，H=5m，D=19m，c=1.1m。1)地板线倾角q=10°，问最佳

3、作为在什么地方？2)求地板线倾角q（一般不超过20°），使所有观众平均满意度最大。二、问题的分析根据观众对座位的满意程度主要取决于观看时的视角a和仰角b，a越大越好，b越小越好，最佳位置b就是在这两者之间找一个平衡点，使观众的综合满意度最大。既然b>30°不可避免，那么在建立模型时，必须将a与b同时考虑。于是本文通过对a与b分别设立权重，建立适当的坐标系，从而形成一个线性的满意度函数。对于问题一，已知地板线倾角，求最佳座位所在，即将问题转化为求综合满意度函数的最大值，用matlab软件做出综合满意度图像

4、，在进行求解。对于第二问，将所有的座位想像为一个个连续的点，此时，综合满意度为关于x与q的二元函数，先对x求所在区间的积分，从而求7出其在所有位置上的平均满意度，再利用matlab做出平均满意度关于q的函数的图形，从而可进行直观求解。一、模型假设1.忽略因视力或其他方面因素影响观众的满意度；2.观众对座位的仰角的正切值的满意程度呈线性；3.观众对座位的水平视角的正切值呈线性；4.所有的观众的座位等高，且为平均坐高。二、符号说明a视角b仰角q地板线与水平线的倾角D最后一排离屏幕的水平距离d第一排离屏幕的水

5、平距离h屏幕的高度H屏幕上边缘离地面的高度Pa主观给定a的权重Pb主观给定b的权重三、模型的建立1、问题一以第一排观众的眼睛为原点，建立直角坐标系如图1所示：7图1A其中，AB为屏幕，MS为地板线，OE为所有的观众的眼睛所在的直线。则由图可设视觉线OE上任意一点P的坐标为（x,xtanq），屏幕上下点的坐标分别为A（-d,H-c），B(-d,H-h-c)，PA的斜率记为kPA，PB的斜率记为kPB。则直线PA与PB的斜率分别为kPA=xtanθ-H+cx+dkPB=xtanθ-H+h+cx+d则tanα

6、=kPB-kPA1+kPAkPB=h(x+d)(x+d)2+(xtanθ-H+c)(xtanθ-H+h+c)tanβ=-kPA=H-c-xtanθx+d而7tan30°-β=tan30°-tanβ1+tan30°tanβ由我们假设的模型可知，满意度S的表达式为：S=Pαtanα+Pβtan30°-β这里主观设定Pa=Pb=0.5，再对S关于x的函数分析可得到其在其定义域上的最大值，即所求。1、问题二如上文建立坐标系，将q角设为变量，可得此时满意度S1=Pαtanα+Pβtan30°-β再对S1求其xÎ[

7、0,D-d]上的定积分得到总的观众满意度，再除以D-d得到平均满意度S2，即：S2=0D-dS1dxD-d则得到的S2是关于q的函数，再对该函数进行分析，得到最大值及满足条件的q。一、模型求解1、问题一运用matlab软件对上面的S函数作图（见附录二），如图2所示：7图2由上图知，当x=D-d=14.5时，观众的满意度最大，即对于我们所建立的模型，最后一排的满意度最大。1、问题二运用matlab软件求出上述S2函数，在对S2作图（见附录三），如图3所示：7图3由图可知，观众的平均满意度S2随q增大而增大

8、，故当q=20°时，观众的平均满意度最大。7一、附录附录一参考资料1、郑阿奇曹弋《MATLAB实用教程》（第三版）2、王正林刘明《精通MATLAB》（升级版）3、吴礼斌闫云侠《经济数学与建模》附录二问题一的matlab语言x=0:0.05:14.5;y1=(1.8*(x+4.5))./((x+4.5).^2-(x*tan(pi/18)-5+1.1).*(x*tan(pi/18)-5+1.8+1.1));y2=(5-1.1-x*tan(pi/