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1、总练习1、设为实数,证明:(1)(2)证因为所以2、设和都是上的初等函数,定义,,.试问和是否为初等函数?解:因为所以是由初等函数和经四则运算和有限次复合而成的函数,故是初等函数.又因为所以也是由初等函数和经四则运算和有限次复合而成的函数,从而是初等函数.3、设函数,求:.3、已知,求.解:.4、利用函数求解:a)某系各班级推选学生代表,每5人推选一名代表,余额满3人可增选1名,写出可推选代表人数与班级学生数之间的函数关系(假设每班学生数为人);b)正数经四舍五入后得正数,写出与之间的函数关系.解:(1)因余
2、额满3人可增选1名,也就是说可在原来基础上增加2人后取整,于是(2)由定义知.5、已知函数的图形,试作出下列各函数的图形:(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7)解:(1)和的图形关于轴对称(2)和的图形关于轴对称(3)和的图形关于原点对称(4)(5)=(6)(7)它们的图象如图1-14----图1-163、已知函数f和g的图象,试作出下列函数的图形:(1)(2)解(1),(2)的图形如图1-17和图1-184、设f、g和h为递增函数，证明：若，则.证由题设条件，有，因而.9.设f、g为区间上递
3、增函数,证明和都是上的递增函数.证对任意的，由f、g在上递增知，，因之，.从而,即在上是递增函数.同理可证在上是递增函数.10.设为上的奇(偶)函数,证明:若在上递增,则在上递增(减).证:当为奇函数时,对任意的,有,且.而,,从而有,即,所以在上是递增的.当为偶函数时,类似地可以证明结论成立.11.证明:(1)奇函数与奇函数之和仍为奇函数;(2)偶函数与偶函数之和仍为偶函数;(3)奇函数与偶函数的乘积是奇函数;(4)奇函数与奇函数的乘积是偶函数;(5)偶函数与偶函数的乘积是偶函数.证:只证(1)、(3)，其
4、余可以类似地证明.设,为上的奇函数,,为上的偶函数.(1)令,则对任意的,所以是上的奇函数.(3)令,则对任意的,所以是上的奇函数.12.设,为上有界函数,证明:.证:对任意,由于,所以,故(1)由不等式(1)又有所以同理有对任意,由于,,所以故(2)由不等式(2)知所以即同理有13.设,为上有界函数,且证明:证:(1)只证第一个和第三个不等式.由且,所以故同理可以证明(1)第二个不等式显然成立14.延拓定义在上的函数到整个实数轴上,使所得的函数为(Ⅰ)奇函数(Ⅱ)偶函数.设(1)(2)解:(1)令则是奇函数
5、,是偶函数,且都是延拓.(2)令则是奇函数,是偶函数,且都是延拓.注:一般地令,则是上的奇函数,是上的偶函数,且都是的延拓.15.设为定义在上以为周期的函数.证明:若在上有界,则在上有界.证:因为在上有界,从而存在,对任意的,有.对任意的,一定存在整数及使于是所以在上有界.16.设在区间上有界,记,证明:.证:因为有,,从而所以另一方面,,使得及从而由的任意性知因此
