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1、第四章数列、极限、数学归纳法一、考纲要求1.掌握：①掌握等差数列、等比数列的概念、通项公式、前n项和公式；②能够运用这些知识解决一些实际问题；③掌握极限的四则运算法则.2.理解：①数列的有关概念；②能根据递推公式算出数列的前几项；③会求公比的绝对值小1的无穷等比数列前n项的极限.3.了解：①了解递推公式是给出数列的一种方法；②了解数列极限的意义；③了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单问题.二、知识结构(一)数列的一般概念数列可以看作以自然数集(或它的子集)为其定义域的函数，因此可用函数的观
2、点认识数列，用研究函数的方法来研究数列。数列表示法有：列表法、图像法、解析法、递推法等。列表法：就是把数列写成a1,a2,a……an……或简写成｛an｝，其中an表示数列第n项的数值，n就是它的项数，即an是n的函数。解析法：如果数列的第n项能用项数n的函数式表示为an=f(n)这种表示法就是解析法，这个解析式叫做数列的通项公式。图像法：在直角坐标系中，数列可以用一群分散的孤立的点来表示，其中每一个点(n,an)的横坐标n表示项数，纵坐标an表示该项的值。用图像法可以直观的把数列an与n的函数关系表示出
3、来。递推法：数列可以用两个条件结合起来的方法来表示：①给出数列的一项或几项。②给出数列中后面的项用前面的项表示的公式，这是数列的又一种解析法表示称为递推法。例如：数列2，4，5，，…递推法表示为a1=2其中an+1=an+又称该数列an+1=an+(n∈N)的递推公式。由数列项数的有限和无限来分数列是有穷数列和无穷数列。由数列项与项之间的大小关系来分数列是递增数列、递减数列、摆动数列以及常数列。由数列各项绝对值的取值范围来分数列是有界数列和无界数列、通项公式是研究数列的一个关键，归纳通项公式是求数列通项
4、公式的最基本方法，给出数列的前n项，求这个数列的通项公式并不是唯一的，也并非所有的数列都能写出通项公式。数列｛an｝的前n项和是：a1+a2+a3+…+an记作Sn，要正确认识数列前n项和的符号，Sn是下角码n的函数。数列的前n项和与通项之间的关系是an=S1(n=1)Sn-Sn-1(n≥2)本单元习题主要有两种类型：①已知数列的通项公式或递推关系写出数列或数列的某一项、某几项。②由题设写出数列的通项公式。(二)等差数列和等比数列1.等差数列定义、表示法及性质(1)等差数列定义中，要准确地理解，稳健地应
5、用公差d，准确的理解即注意定义中“从第二项起”及“同一个常数”的含义，稳健地应用即an+1-an=d是证明数列是等差数列的理论依据之一，而d的符号又决定等差数列的单调性。(2)如果一个数列｛an｝是等差数列，公差为d，则这个数列可表示为：①列表法：a1,a1+d,a1+2d…a1+(n-1)d…简写成｛a1+(n-1)d｝特殊地，只有三项时可写成：a-d,a,a+d，只有四项时可写成：a-3d,a-d,a+d,a+3d.表示规律：奇数项公差为d，偶数项公差为2d，它们是解决等差问题的计算工具。②解析法：
6、an-an-1=d(n≥2,n∈N)特殊地，只有三项时可写成A-x=y-A即2A=x+y其中A叫做x、y的等差中项，它们是解决等差问题的证明工具。③图像法：an=a1+(n-1)d可改写成an=dn+a1-d这表明当d≠0时an是关于n的一次函数，因此在直角坐标系中等差数列的图像是：以d为斜率在y轴上截距为a1-d并且n为自然数的一条直线上一些分散的点。(3)等差数列的通项公式已知a1和公差d，则有an=a1+(n-1)d已知am和公差d，则有an=am+(n-m)d(m,n∈N)(4)等差数列的前n项
7、和公式已知a1和an，则有Sn=(n∈N)已知a1和d，则有Sn=na1+d(n∈N)(5)等差数列的性质①在等差数列的前n项中，与两端等距离的两项之和均相等，即：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=……=ar+an-r+1=……②在等差数列中，若某两项的项数之和是定值，则相应的两项的数值之和也是定值。即：在等差数列｛an｝中，如果m+n=p+q(m,n,p,q∈N)，那么，am+an=ap+aq③用图像法表示等差数列时，其各点均在以公差d为斜率的一条直线上，即d=(m,n∈N,m≠n)④等差数
8、列等距离的取出若干项，仍然是等差数列。⑤公差为d的等差数列，按k项分组，每k项之和组成的数列仍是等差数列，其公差为k2d.即：a1+a2+a3+…+ak,ak+1+ak+2+…+a2k…ank+1+ank+2+…+ank+k…仍是等差数列。⑥两个等差数列的第n项之比等于前2n-1项之和的比。⑦数列｛an｝成等差数列的充要条件是an=dn+c(d,c为常数，n∈N)⑧数列｛an｝成等差数列的充要条件是Sn=an2+bn(a,b为常数，n∈N)
