大学物理第13课时.pdf

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1、第13章振动13-1如图13-23所示，质量为m的密度计，放在密度为的液体中。已知密度计圆管的直径为d。试证明：推动密度计后，证明它在竖直方向的振动为简谐振动，并计算其振动周期。解：平衡位置：当F浮=G时，平衡点为C处。设此时进入水中的深度为a：gSamg可知浸入水中为a处为平衡位置。以水面作为坐标原点O，以向上为x轴，质心的位置为x，则：分析受力：不管它处在什么位置，其浸没水中的部分都可以用a-x来表示，所以力FgaxS()gaSgSxkx22FgSxdx2gSgda令2mmdtm4m2dx2可得到：x

2、0可见它是一个简谐振动。2dt4m周期为：T2/dg13-2证明图13-24所示系统的振动为简谐振动。1kk12其频率为：2(kk)m12图13-24习题13-2图证明：两根弹簧的串联之后等效于一根弹簧，所以仍为简谐振动（证明略），其劲度系数满足：KxKxKx和xxx112212111K1K2可得：所以：KKKKKK12121k1k1k2代入频率计算式，可得：2m2(kk)m1213-3如图13-25所示，有一截面积为S的空心管柱，配有质量为m的活塞，活塞与管柱间的摩擦略去不计。在活塞处于平衡状态时，柱内气

3、体的压强为p，气柱高为h。若使活塞有一微小位移，活塞将上下振动，证明它在竖直方向的振动为简谐振动，并计算其振动频率。设气体温度不变。图13-25习题13-3图解：在静平衡时：pSmgpS02dx当活塞下降x(任意位置)时：pSpSmgm012dt2dx由上两式得到：pSpSm12dt过程是等温的pVpV即：phSp(hx)S111ph1x得出：pp(1)p(xh)1hxxh1h22xdxdxpS所以pS(1)pSm或x022hdtdthm说明活塞的上下振动为简谐振动，其振动频率pSp0Smghmhm3－

4、313－4设地球是一个半径为R的均匀球体，密度5.510kgm。现假定沿直径凿一条隧道。若有一质量为m的质点在此隧道内做无摩擦运动。（1）证明此质点的运动是简谐振动；（2）计算其周期。解：（l）取图所示坐标。当质量为m的质点位于x处时，它受地球的引力为mmxFG2x3式中G为引力常量，mx是以x为半径的球体质量，即mx4x/3。令k4Gm/3，则质点受力F4Gmx/3kx因此，质点作简谐运动。（2）质点振动的周期为T2m/k3/G35.0710s13-5两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点

5、1在x1=A/2处，且向左运动时，另一个质点2在x2=-A/2处，且向右运动。求这两个质点的相位差。解：由旋转矢量图可知：当质点1在xA/2处，且向左运动时，1相位为π/3，而质点2在xA/2处，且向右运动，2相位为4π/3。所以它们的相位差为π。13-6一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体，最初用手将物体在弹簧原长处托住，然后放手，此系统便上下振动起来，已知物体最低位置是初始位置下方10.0cm处，求：（1）振动频率；（2）物体在初始位置下方8.0cm处的速度大小。解：（1）由题知2A=10cm，所以A=5cm；Kg9.8k196又ω=19614

6、,即2mx510m1k72mx3（2）物体在初始位置下方8.0cm处，对应着是x=3cm的位置，所以：cos0A5v4那么此时的sin0A54那么速度的大小为vA0.56513－7一物体沿x轴做简谐运动，振幅为0.06m，周期为2.0s，当t=0时位移为0.03m，且向x轴正方向运动。求：（1）t=0.5s时，物体的位移、速度和加速度；（2）物体从x=－0.03m处向x轴负向运动开始，到平衡位置，至少需要多少时间？1解：（1）由题意知A=0.06m、2/Ts由旋转矢量图可确定初相则03，振动方程为

7、x0.06cos(t)3当t=0.5s时质点的位移、速度、加速度分别为x0.06cos()0.052m23dxv0.06sin()0.094m/sdt232dx22a0.06cos()0.513m/s2dt23（2）质点从x=0.03m运动到平衡位置的过程中，旋转矢量从图中的位置M转至位置N，矢量转过的角度(即相位差)5/6。该过程所需时间为t0.833s13-8一物体放在水平木板上，此板沿水平方向作简谐振动，频率为2Hz，物体与板面间的静摩擦系数为0.50。问：(1)要使物体在板上

8、不致滑动，振幅的最大值为多少?(2)若令此板改作竖直方向的简谐振动