深入浅出通信原理 (2).doc

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1、连载1：从多项式乘法说起多项式乘法相信我们每个人都会做：再合并同类项的方法得到的，要得到结果多项式中的某个系数，需要两步操作才行，有没有办法一步操作就可以得到一个系数呢？下面的计算方法就可以做到：这种计算方法总结起来就是：反褶：一般多项式都是按x的降幂排列，这里将其中一个多项式的各项按x的升幂排列。平移：将按x的升幂排列的多项式每次向右平移一个项。相乘：垂直对齐的项分别相乘。求和：相乘的各结果相加。反褶、平移、相乘、求和－这就是通信原理中最常用的一个概念“卷积”的计算过程。连载2：卷积的表达式利用上面的计算方法，我们很容易得到：c(0)=a(0)b(0)c(1)=a

2、(0)b(1)+a(1)b(0)c(2)=a(0)b(2)+a(1)b(1)+a(2)b(0)c(3)=a(0)b(3)+a(1)b(2)+a(2)b(1)+a(3)b(0)其中：a(3)=a(2)=b(3)=0在上面的基础上推广一下：假定两个多项式的系数分别为a(n)，n=0~n1和b(n)，n=0~n2，这两个多项式相乘所得的多项式系数为c(n)，则：c(0)=a(0)b(0)c(1)=a(0)b(1)+a(1)b(0)c(2)=a(0)b(2)+a(1)b(1)+a(2)b(0)c(3)=a(0)b(3)+a(1)b(2)+a(2)b(1)+a(3)b(0)c

3、(4)=a(0)b(4)+a(1)b(3)+a(2)b(2)+a(3)b(1)+a(4)b(0)以此类推可以得到：上面这个式子就是a(n)和b(n)的卷积表达式。通常我们把a(n)和b(n)的卷积记为：a(n)*b(n)，其中的*表示卷积运算符。连载3：利用matlab计算卷积表面上看，卷积的计算公式很复杂，计算过程也很麻烦（反褶，平移，相乘，求和），实际上使用Matlab很容易计算。以上面的a(n)=[11]，b(n)=[125]的卷积计算为例：>>a=[11];>>b=[125];>>c=conv(a,b);>>cc=1  3  7  5后面很多地方的讲解都会用

4、到matlab，没用过matlab的同学，请到网上下载个matlab7.0，安装后，将上面前4行内容拷贝到命令窗口中执行，即可得到上面的执行结果。为了更好地理解卷积（多项式相乘，相当于系数卷积），我们用matlab画一下高中学过的杨辉三角。杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：                1              1    1            1    2    1          1    3    3    1        1    4    6    4    1    1    5    10    10  

5、  5    1  1    6    15    20    15  6    1其中每一横行都表示(a+b)^n（此处n=1，2，3，4，5，6，∙∙∙∙∙∙）展开式中的系数。杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。>>x=[11];y=[11];>>yy=1  1>>y=conv(x,y)y=1  2  1>>y=conv(x,y)y=1  3  3  1>>y=conv(x,y)y=1  4  6  4  1>>y=conv(x,y)y=1  5  10  10  5  1>>y=conv(x,y)y=1

6、  6  15  20  15  6  1连载4：将信号表示成多项式的形式多项式乘法给了我们启发：如果信号可以分解为类似多项式的这种形式：存不存在满足这个条件的x呢？前人早就给出了答案，那就是：附：前面推导过程中用到的几个三角公式：连载5：著名的欧拉公式这就是著名的欧拉公式。对于欧拉公式，大家知道结论就可以了，想知道怎么得来的同学请参考下面的证明。欧拉公式的证明（利用泰勒级数展开）：连载6：利用卷积计算两个信号的乘积下面我们举个具体的例子来体会一下“如果信号可以分解为类似多项式的这种形式：会涉及一系列的三角函数公式，计算过程非常麻烦。具体的计算过程这里就不列了，大家

7、可以试一下，看看有多麻烦。连载7：信号的傅立叶级数展开上面这种把信号表示成形式类似于多项式的方法，本质上就是傅里叶级数展开，多项式中各项的系数实际就是傅里叶系数：以频率为横轴，傅里叶系数为纵轴，画出的图就是频谱图。前面我们已经知道：[3，17，28，12]＝[1,5,6]*[3,2]因此很容易得出：时域相乘，相当于频域卷积。连载8：时域信号相乘相当于频域卷积连载10：傅立叶级数展开的定义连载11：如何把信号展开成复指数信号之和？前面我们已经把信号展开成了直流分量、余弦分量和正弦分量之和，可是如何把信号展开成复指数信号之和呢？将上述公式代入前面的傅立叶级数展开式中