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1、第20卷第2期固体力学学报Vol.20No.21999年6月 ACTAMECHANICASOLIDASINICAJune1999X压电材料中心裂纹问题王自强 韩学礼(LNM,中国科学院力学研究所,北京,100080)摘 要 以电位移法向分量及电势连续通过裂纹面为边界条件,对均匀压电材料的裂纹问题及两种不同压电材料界面裂纹问题进行了系统分析.得到了含中心裂纹无限大体封闭形式的全场解.证实了裂纹引起的非均匀扰动场只依赖于外加力场而与外加电场无关.关键词 压电材料,裂纹,界面1 引言压电材料是智能元件中用得最多的一种材料.它既可以用作具有感知功能的传感器,又可用作具有致动功能的执
2、行器.由于电和机械的耦合效应,压电材料的电致断裂和电致疲劳现象时有发生.对于压电材料断裂行为研究引起了广泛注意.[1]关于裂纹问题的理论研究中,裂纹面边界条件的提法存在着两种不同的观点.Parton首先提出,裂隙中的介质可以是真空或空气,它们不能承受机械载荷,但它们是电介质,可以承受电场作用.因此,电位移矢量的法向分量及电势连续穿过裂纹面+-+-Dn=Dn,φ=φ(1)[2][3][4][5] 这种提法,后来得到Zhang和Hack、Hao和Shen、Dunn与Zhang和Tong的支持.[6][7][8][9]Pak、Sosa和Pak、Kuo和Barnett与Suo等人认
3、为裂隙中的介质,介电常数远远小于压电介质的介电常数,因此如果裂纹面上没有外加电荷,那么裂纹面上的边界条件,可以归结为+-Dn=Dn=0(2)[10]公式(2)在欧美各国得到广泛应用.McMeeking指出公式(2)在某些情况下,并不合适.当参数(εf/εm)(a/b)很小时,(2)式是合适的.这里εf,εm分别是裂隙介质及基体的介电常数,而a和b分别是椭圆缺陷的长半轴及短半轴.对于理想裂纹,b趋近于零,该参数变为无穷大,(2)式就不再合适.[5]Zhang和Tong的近期工作,再次强调了(1)式的正确性.从经典电动力学的角度来分析,如果裂隙中的介质是真空,那么(1)式无疑是正
4、确的.即使裂隙中的介质是空气,只要裂隙中的电场强度小于空气的击穿强度,那么(1)式依然成立.本文采用(1)式作为裂纹面的电边界条件,分析了均匀压电介质中及两种压电介质界面上的裂纹问题.X国家自然科学基金重大项目(编号19704100)和中国科学院重大项目(编号KJ951-1-201)资助.1998203231收到第1稿,1998211220收到修改稿. 固体力学学报 ·96·1999年第20卷2 基本公式线性压电材料的本构方程为σij=cijkγlkl-ekijEk(3)Di=eikγlkl+εikEk式中σij,γ
5、ij分别是应力和应变张量,Di,Ei分别是电位移矢量和电场强度.cijkl,eikl,εij分别是压电材料的弹性模量张量,压电系数和介电系数.场方程为σij,i=0(4)Di,i=0 应变γij,电场强度Ei可表示为1γij=(ui,j+uj,i)2(5)Ei=-φ,i式中ui是位移,φ是电势.将公式(3),(5)代入(4)式得(cijkluk+eliφj),li=0(6)(eikluk-εiφl),li=0[9] 讨论平面应变二维问题,参照Suo等人的工作,一般解可以用复势函数表示{ui,φ}=af(ζ1x+ζ2y)(7)式中a是含有4个元素的列阵,ζ1=1,ζ2=p.
6、将(7)式代入(6)式得(cαjkβak+eαβja4)ζαζβ=0(8)(eαβkak-εαβa4)ζαζβ=0[9]式中α,β取值1,2.j,k取值1,2,3.这是关于列阵a的本征值问题.Suo等人证实了该问题的本征方程具有8个复根,它们构成4对共轭复数.用p1,p2,p3,p4表示具有正的虚部的4个复根,则有4{ui,φ}=2Re∑akfk(zk)(9)k=1式中zk=x+pky.对于应力分量及电位移矢量有4{σ2j,D2}=2Re∑bkfk′(zk)k=1(10)4{σ1j,D1}=-2Re∑bkpkfk′(zk)k=1列阵b的分量为bj=(c2jk1ak+e12ja
7、4)+(c2jk2ak+e22ja4)p(11)b4=(e21kak-ε21a4)+(e22kak-ε22a4)p 引入4×4矩阵A和BA=[a1,a2,a3,a4](12)B=[b1,b2,b3,b4]第2期 王自强等: 压电材料中心裂纹问题 ·97· 定义单变量复函数矢量f(z)f(z)={f1(z),f2(z),f3(z),f4(z)}(13)那么在实轴上广义的位移矢量及面力矢量可表示为U(x)={uj,φ}=Af(x)+AŠf(x)(14)t(x
